От взаимодействия внутри ансамбля. Эта сила определяет, будут ли системы

синхронизируются, но это зависит от их колебаний - это типичный пример

Самоорганизация. Чтобы качественно объяснить появление этой силы (или вычислить

При этом, как это сделано в разделе 12.1), мы рассматриваем эту проблему самосогласованно.

Сначала предположим, что среднее поле равно нулю. Тогда все элементы

В популяции колеблются независимо друг от друга, и, как мы знаем из раздела 3.6.4, их

Вклады в среднее поле практически компенсируют друг друга. Даже если частоты

Эти колебания идентичны, но их фазы независимы, среднее значение

Выходов всех элементов ансамбля мала по сравнению с амплитудой

Одиночный осциллятор. 13 Таким образом, асинхронное состояние с нулевым средним полем подчиняется

Условие согласованности.

Затем, чтобы продемонстрировать, что синхронизация в популяции также возможна, мы

Предположим, что среднее поле отличное от нуля. Тогда, естественно, увлекает хоть какое-то

12 Обозначим эти выходы через x k (t), где k = 1,..., N - индекс осциллятора, а N -

Количество элементов в ансамбле; x может быть изменением интенсивности света или акустической

Поле вокруг некоторого среднего значения или, как правило, любой другой колеблющейся величины. Тогда сила

который управляет каждым осциллятором, пропорционален ∑ k x k (t). Принято писать это

пропорциональность как ε N − 1 ∑ k x k (t), так что она включает нормировку на количество

осцилляторы Н. Член N − 1 ∑ k x k (t) - это просто среднее арифметическое всех колебаний, и

Поэтому этот тип связи часто называют связью среднего поля.

По закону больших чисел стремится к нулю, когда количество взаимодействующих

осцилляторы стремятся к бесконечности; флуктуации среднего поля имеют порядок N − 1/2.

(б)

а)

1

N

2

3

Σ

Рисунок 4.24. (а) Каждый осциллятор в большой популяции взаимодействует со всеми остальными. Такой

взаимодействие обозначается как всеобщее или глобальное связывание. (б) Эквивалент

Представление глобально связанных осцилляторов: каждый элемент ансамбля управляется

Средним полем, образованным всеми элементами.

Стр.150

128

Синхронизация двух и многих осцилляторов

Часть популяции, выходы этих увлеченных элементов суммируются согласованно (см.

Раздел 3.6.4), и среднее поле действительно отличное от нуля, как предполагалось. Который из этих двух

Состояния - синхронное или асинхронное - реализуется, или, другими словами, какое из них

Стабильный, зависит от силы взаимодействия между каждой парой и от того, насколько разные

Элементы есть. Взаимодействие между этими двумя факторами, силой сцепления и

Распределение собственных частот, также определяет, сколько осцилляторов

Синхронизирован, и, следовательно, насколько сильно среднее поле.

Обсудим теперь, как происходит переход синхронизации, принимая аплодисменты в

аудитория в качестве примера. Изначально каждый хлопает с индивидуальной частотой,

И звук, который они все производят, шумный. 14 Пока этот звук слабый, и кон-

Не имеет характеристической частоты, существенно не влияет на ансамбль. Каждый

осциллятор имеет свою частоту ω k, каждый аплодирует и каждый светлячок мигает

С его индивидуальной ставкой, но всегда существует какое-то значение, которое предпочитают

Большинство. Определенно, некоторые элементы ведут себя очень индивидуально, но

Основная часть населения стремится быть «как сосед». Итак, частоты

ω k распределены в некотором диапазоне, и это распределение имеет максимум около

Наиболее вероятная частота. Следовательно, всегда есть как минимум два осциллятора, у которых есть

Очень близкие частоты и, следовательно, легко синхронизируются. В результате вклад

К среднему полю на частоте этих синхронных колебаний увеличивается. Этот

Увеличенная составляющая движущей силы естественным образом увлекает другие элементы, которые

Близких частот, это приводит к росту синхронизированного кластера и дальнейшему

Увеличение компоненты среднего поля на определенной частоте. Этот процесс

Развивается (быстро для релаксационных осцилляторов, относительно медленно для квазилинейных), и

Со временем почти все элементы присоединяются к большинству и колеблются синхронно, а их

Общий выход - среднее поле - уже не шумный, а ритмичный.