Кривая, очень скоро расходится с исходной и демонстрирует иную картину

Колебаний.

Стр. Решебника 162

140

Синхронизация хаотических систем

Разница между автономными и принудительными системами не имеет значения. Однако для фазы

Синхронизация хаоса (раздел 5.2) крайне важна.

5.1.2

Чувствительная зависимость от начальных условий

Неравномерность хаотической системы не означает полной непредсказуемости. Действительно,

процессы на рис. 5.2 кажутся достаточно предсказуемыми на небольшом (намного меньшем, чем

один характерный период) шкала времени; это следует из закономерности рис. 5.2а.

В пределах одного колеблющегося паттерна. Это полностью согласуется с детерминированным характером

процесса: если точно известно состояние x, y, z в момент времени t = 0 (т. е. с

с бесконечной точностью) динамика за все время t > 0 определяется однозначно. Эти

Динамика определяется обыкновенными дифференциальными уравнениями движения; практически один

Вычисляет их, используя некоторую схему численного интегрирования. Динамика хаоса

Однако системы имеют одну важную особенность: они чувствительны к малым возмущениям.

Начальных условий. Это означает, что если мы возьмем две близкие, но разные точки в

Фазового пространства и проследим их эволюцию, то мы увидим, что две фазовые траектории

начиная с этих точек со временем расходятся (рис. 5.2b). Другими словами, даже если мы

Знать состояние хаотического осциллятора с очень высокой, но конечной точностью, мы можем

Предсказывать свое будущее только на конечное время, зависящее от точности, временного интервала, и не может

Прогнозировать его состояние на более длительное время.

Чувствительность относится к любой точке траектории. Это означает, что все движения на

Странный аттрактор нестабилен. Количественно нестабильность измеряется

Наибольший показатель Ляпунова. Обратный к этой экспоненте - характерное время

Нестабильности; грубо говоря, за такой промежуток времени возмущение удваивается. В

На рис. 5.3 мы проиллюстрировали, почему чувствительность приводит к нерегулярности. Во-первых, мы ограничиваем наши

Внимание к непреходящим (повторяющимся) состояниям, т. е. к тем, которые почти повторяются.

Предположим, что такое состояние 1 после некоторой эволюции почти повторяется, достигая

Соседнее положение 2. Это соседнее положение можно рассматривать как возмущение

Из 1. Из-за нестабильности эволюция состояния 2 не следует за эволюцией

Начиная с 1, но расходится с ней. 1 Таким образом, все сходства в состояниях системы

Являются временными, и никакая закономерность не может повторяться регулярно. Неустойчивость также подразумевает

Перемешивание на хаотических аттракторах: если выбран набор близких начальных точек, после

через некоторое время (обратно пропорционально наибольшему показателю Ляпунова) точки будут

Распространяться по всему аттрактору.

За характеристиками устойчивости траекторий можно проследить более подробно. Действительно,

Можно производить малые возмущения состояния в фазовом пространстве во всех возможных направлениях.

Количество независимых компонентов в этой линейной эволюции в точности равно количеству

Независимых переменных динамики, и для каждой такой компоненты можно определить

скорость роста (или спада) нестабильности (устойчивости); эти ставки называются ляпуновскими

В устойчивом случае траектории, начинающиеся с 1 и 2, приближаются друг к другу; необходимость

Следствием этого является существование устойчивого предельного цикла в окрестности.

Стр. Решебника 163

Фазовая синхронизация хаотических осцилляторов

141

Экспоненты. В модели Лоренца у нас есть три переменных, следовательно, у нее есть три Lya-

Экспоненты пунов. 2 Для хаотических трехмерных систем одна экспонента положительна

(соответствует чувствительности, описанной выше), одна отрицательная (это соответствует

Свойству аттрактора захватывать близлежащие состояния), а единица равна нулю, что

Соответствует сдвигам по траектории - очевидно, что такие возмущения не нарастают.

ни распада. 3 Мы проиллюстрируем эти свойства локальной устойчивости хаотического состояния на рис. 5.4.

Напомним читателю, что периодические осцилляторы имеют один нулевой показатель Ляпунова и

все остальные отрицательны (см. рис. 2.6). Последние соответствуют сходимости