Начнем рассмотрение со случая малого форсирования. В разделе 7.1 мы используем

Метод возмущений, основанный на приближении фазовой динамики. Этот подход

приводит к простому фазовому уравнению, которое можно рассматривать аналитически. Это уравнение:

Однако неуниверсальный, так как его форма зависит от особенностей осциллятора.

Другой аналитический подход представлен в разделе 7.2; здесь мы предполагаем не только то, что

Сила мала, но также и то, что периодические колебания являются слабонелинейными. Это позволяет

Использовать метод усреднения и получить универсальные уравнения, зависящие от нескольких

Параметры. Исторически это первый аналитический подход к синхронизации.

назад к работам Эпплтона [1922], ван дер Поля [1927] и Андронова и Витта

[1930а, б]. Усредненные уравнения можно проанализировать подробно, но их применимость

Ограничен: на самом деле, количественные предсказания возможны только для малой амплитуды самооценки.

Устойчивые колебания вблизи точки бифуркации Хопфа их появления.

Обычно, когда сила не мала и / или колебания сильно не

Линейно, мы должны опираться на качественную теорию динамических систем. Используемые инструменты

Вот карты кольца и окружности, описанные в разделе 7.3. Такой подход дает

Общее описание вплоть до перехода к хаосу, позволяет найти пределы

Аналитических методов и обеспечивает основу для численных исследований конкретных

Системы.

В разделе 7.4 мы обсуждаем синхронизацию ротаторов. Эти системы де-

Описывается фазоподобной переменной, а свойства синхронизации аналогичны тем

175

Стр. Решебника 198

176

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

Автогенераторов. Наконец, мы описываем техническую систему (фазовая синхронизация

loop), который можно интерпретировать как частный пример управляемого генератора.

7.1

Фазовая динамика

В этом разделе мы рассмотрим влияние слабой периодической внешней силы на периодические саморегулирующиеся

Устойчивые генераторы. Основная идея здесь в том, что небольшая сила влияет только на фазу,

Не амплитуда, так что мы можем описать динамику с помощью фазового уравнения. В своем

При выводе мы следуем методу, разработанному Малкиным [1956] и Курамото [1984].

Хотя метод является довольно общим, полученное фазовое уравнение очень простое.

И легко исследовать. Это позволит нам описать многие важные свойства

Синхронизация аналитически.

7.1.1

Предельный цикл и фаза колебаний

Рассмотрим общую M -мерную (M ≥ 2) диссипативнуюавтономную 1 систему

Обыкновенные дифференциальные уравнения

D x

dt = f (x),

х = (х 1,..., х M),

(7.1)

и предположим, что эта система имеет устойчивое периодическое (с периодом T 0) решение x 0 (t) =

х 0 (t + T 0). В фазовом пространстве (пространстве всех переменных x) это решение является изолированным

замкнутая притягивающая траектория, называемая предельным циклом (рис. 7.1). Дело в фазе

Формально управляемую систему можно записать как автономную, если ввести дополнительный

Уравнение для переменной, эквивалентной времени. Физически такая манипуляция не работает.

Сделать систему действительно автономной, потому что на «переменную времени» нельзя повлиять.

1

Икс

Х 2

Рисунок 7.1. Конюшня

Предельный цикл (жирная кривая),

Здесь показано для

Двумерный динамический

Система. Его форма может быть очень

отличается от круглого;

В многомерной фазе

Пространство его можно даже завязать.

Соседние траектории

Привлекаются к циклу.

Стр. Решебника 199

Фазовая динамика

177

Пространство, движущееся по циклу, представляет собой автоколебания. 2 Самые

популярным классическим примером автоколебательной системы является уравнение Ван дер Поля [van

дер Поль 1920, 1927]

¨ x - 2µ ˙ x (1 - β x 2) + ω 2

0 х = 0.

(7.2)

При малых µ этот осциллятор является квазилинейным, а при больших µ - релаксационным.

Наша первая цель - описать это движение в терминах фазы. Мы представляем

фазу φ каккоординатувдольпредельногоцикла, такчтоонамонотоннорастетв

направление движения и получает 2 π закаждыйоборот. Болеетого, мытребуем, чтобы

Фаза равномерно растет во времени, так что она подчиняется уравнению

d φ

dt = ω 0,

(7.3)

где ω 0 = 2 π / T 0 - частота автоколебаний. В следующих,

Когда на период колебаний влияет воздействие и / или сцепление, нам понадобится

для обозначения частоты этого изолированного генератора; Таким образом, мы называем ω 0 естественный час-