Построение истинной величины плоской фигуры методом ППП

17.4.1 Определить направление одного из следов плоскости, заданной плоской фигурой. С этой целью построить фронталь или горизонталь плоскости (см. Алгоритм 10.2).

17.4.2 Преобразовать плоскость в проецирующую (применить Алгоритм 17.3.1).

17.4.3 Следующей переменой перевести плоскость в положение, параллельное новой плоскости проекций (применить Алгоритм 17.3.2).

Определение истинной величины фигуры методом перемены плоскостей проекций проиллюстрировано на рисунке 48.

Фигура была задана горизонтальной проекцией A’B’C’D’E’ и двумя сторонами на фронтальной проекции – A’’B’’ и B’’C’’. Фронтальные проекции точек D’’ и E’’ были найдены за счет проведения диагоналей A’C’, B’E’ и B’D’ и построения их фронтальных проекций.

На фронтальной проекции пятиугольника была проведена фронтальная проекция горизонтали C’’3’’. Ее найденная в проекционной связи горизонтальная проекция С’3’ определяет направление горизонтального следа плоскости пятиугольника.

Проведем новую ось координат π₁/π₄ перпендикулярно направлению С’3’. Опустим на нее проекционные перпендикуляры из горизонтальных проекций вершин пятиугольника. На соответствующих линиях проекционной связи от оси π₁/π₄ отложим расстояния от точек A’’, B’’’, C’’, D’’ и E’’ до оси π₂/π₁. Впрочем, достаточно отложить координаты только двух точек, остальные же должны лечь на отрезок прямой B^IVD^IV, в который на плоскость π₄ спроецируется весь пятиугольник, так как теперь он находится в проецирующем положении.

После того как плоскость пятиугольника заняла положение фронтально-проецирующей, ее можно преобразовать в плоскость уровня, т.е. сделать ее параллельной новой горизонтальной плоскости проекций. Проведем ось координат π₄/π₅ параллельно прямой B^IVD^IV. Опустим на ось π₄/π₅ проекционные перпендикуляры из проекций вершин пятиугольника A^IV, B^IV, C^IV, D^IV и E^IV. На продолжении

соответствующих линий проекционной связи от оси π₄/π₅ отложим расстояния от горизонтальных проекций A’, B’, C’, D’ и E’ до оси π₁/π₄. Полученные в результате новые горизонтальные проекции в плоскости π₅ позволят вычертить пятиугольник A*B*C*D*E*, проецирующийся в натуральную величину.

Рисунок 48 – Определение истинной величины плоской фигуры методом ППП

Решение позиционных задач методом ППП

Пересечение плоскостей

Ранее, в разделе 15, мы сталкивались с объемными построениями, связанными с определением линии пересечения плоскостей, по крайней мере, одна из которых задана плоской фигурой. Решение такого рода задач может быть упрощено преобразованием одной из плоскостей в проецирующую:

17.5.1.1 Выбрать в качестве базы для преобразований одну из плоскостей. Если она задана не следами, найти направление одного из следов плоскости путем построения линии частного положения плоскости (см. Алгоритм 10.2).

17.5.1.2 Преобразовать базовую плоскость в проецирующую (Алгоритм 17.3.1).

17.5.1.3 Перенести в новую плоскость проекций геометрические элементы второй плоскости (Алгоритм 17.1.1).

17.5.1.4 Обозначить в новой плоскости проекций отрезок линии пересечения плоскостей на следе плоскости, преобразованной в проецирующую.

17.5.1.5 Установить проекционные связи и перенести отрезок линии пересечения в исходные проекции.

На рисунке 49 выполнены построения для той же пары плоскостей, общий способ решения для которых приводился на рисунке 38, а. Это плоскость, заданная треугольником FRS, и плоскость, определяемая параллельными прямыми АВ и CD.

В качестве базы для преобразований выберем плоскость, заданную параллельными прямыми АВ и CD. Координаты z точек В и D одинаковы, этим можно воспользоваться при построениях: соединяем B’’ и D’’, получаем фронтальную проекцию горизонтали плоскости. Горизонтальная проекция горизонтали B’D’ задает направление горизонтального следа. Новую ось координат π₁/π₄ проводим под прямым углом к этой линии.

Опускаем проекционные перпендикуляры на ось π₁/π₄ из точек B’ и C’. На их продолжениях откладываем от оси π₁/π₄ те же расстояния, что и от точек B’’ и C’’ до оси π₂/π₁, соответственно. Получаем новые фронтальные проекции B^IV и C^IV. Точка D на плоскость π₄ проецируется в ту же точку, что и В. Для определения A^IV построений не выполняем, так как она должна лечь на тот же отрезок B^IVC^IV, определяющий положение фронтального проецирующего следа плоскости.

Рисунок 49 – Определение линии пересечения плоскостей методом ППП

За счет аналогичных построений проецируем на плоскость π₄ треугольник FRS. Получаем его новую фронтальную проекцию F^IVR^IVS^IV.

Проекция линии пересечения заданных плоскостей на π₄ совпадает со следом фронтальнопроецирующей плоскости. Отмечаем на пересечении B^IVC^IV со сторонами F^IVR^IV и R^IVS^IV точки L^IV и K^IV.

Отрезок K^IVL^IV определяет фронтальную проекцию линии пересечения плоскостей на π₄.

Проводим линии проекционной связи под прямым углом к оси π₁/π₄. Находим горизонтальную проекцию линии пересечения K’L’. Наконец, проведя линии проекционной связи под прямым углом к π₂/π₁, определяем фронтальную проекцию линии пересечения заданных плоскостей K’’L’’.