Вращение точки относительно координатной оси

Данный Алгоритм не используется напрямую при решении обязательных заданий курса начертательной геометрии, однако является компонентом некоторых Алгоритмов для решения метрических задач с использованием метода вращения.

Для работы в ортогональных проекциях предлагается следующий порядок действий:

4. 1 Построить три проекции исходной точки, в соответствии со способом ее задания (см. Алгоритм 1 или 3.1).

4. 2 Вычертить траекторию перемещения проекции точки в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна координатная ось, служащая осью вращения (см. таблицу 3). Траекторией перемещения является дуга окружности с центром в начале координат и радиусом, равным расстоянию от точки О до проекции исходной точки на данную плоскость.

Вращение относительно оси	Траектория – дуга окружности в плоскости	Изменяющиеся координаты	Неизменная координата
X	π3	y, z	x
Y	π2	x, z	y
Z	π1	x, y	z

Таблица 3 - Характер изменения координат точки при ее вращении относительно координатной оси

 

y

z (-y)

I

A

A _y A I I A y A x

A _x O

x (- y) A _y О y (-x) A

I I I I I

A _{I I} A A y

_A I I I Z A x A _z

y (-z) Т о ч к а А л е ж и т в V I I о к т а н т е z z (-y)

I I I

B

I I I I I I

B, B B B y, B z B y B _z

B

I I

B O

x (- y) B _x B _y О y (-x)

I

B

x B _x y

y (-z) Т о ч к а В л е ж и т в о I I о к т а н т е

z

z (-y)

I I

C _x , C

I I I I I

C _z C, C O C

x (- y) О C _x , C _y y (-x) C _z C I I I C I

C _y

C _y I x y C

y (-z) Т о ч к а л е ж и т в п л о с к о с т и ₁ , м е ж д у V и V I I I о к т а н т а м и.

П о д в у м з а д а н н ы м п р о е к ц и я м т о ч е к А, В. и С п о с т р о и т ь и х т р е т ь и п р о е к ц и и. П о с т р о и т ь и з о м е т р и ч е с - к и е п р о е к ц и и п р о е к ц и и т о ч е к. Д а т ь ш е с т ь ч е р т е ж е й. У к а з а т ь о к т а н т ы, в к о т о р ы х н а х о д я т с я т о ч к и.

И з м. Л и с т № д о к у м. П о д п. Д а т а

Р а з р а б. Г н и л у ш а 4. 03. 08 Л и т. Л и с т Л и с т о в

П р о в. Л ю т о р о в и ч З а д а ч а № 1 1

Н. к о н т р. В а р и а н т 1 1 С П б Г Т И (Т У),

У _{т в.} г р у п п а Х Х Х

К о п и р о в а л Ф о р м а т A 4

Рисунок 5 - Пример оформления задания, решенного по Алгоритму 3

4. 3 Отметить на траектории вращения заданный угол и определить новое положение проекции точки в этой плоскости. Данная проекция точки в ее новом положении позволит определить новые значения двух изменяющихся координат (см. таблицу 3) и положение проекций на соответствующие оси.

4. 4 Обозначить проекцию точки на ось вращения, координата по которой не меняется. (В связи с этим траектория перемещения точки в двух остальных плоскостях проекций представляет собой прямую линию, перпендикулярную оси, вокруг которой происходит вращение).

4. 5 После того как получены три проекции точки на оси в ее новом положении, построить ее проекции на плоскости проекций по Алгоритму 1 или 3.1.

4. 6 Описать принадлежность точки, согласно указанному в пп. 1.1.4 и 1.2.3.

Рисунок 6 иллюстрирует решение следующей задачи: построить I I I точку К, полученную при вращении

A K точки А, заданной графическим

способом, на угол +90 (против часовой стрелки) относительно оси Z.

Так как ось Z перпендикулярна плоскости π₁, траектория движения точки y будет проецироваться в истинную величину

именно в этой плоскости. Вычертим дугу окружности с центром в точке О и радиусом, равным ОA’, по которой будет перемещаться

I горизонтальная проекция точки A’. Заданный A угол, отложенный на траектории, определит

новое положение горизонтальной проекции точки – K’ Эта проекция определяет положение K_x и K_y. Третья координата неизменна, и K_z=A_z. Найденные проекции точки К на оси позволяют получить K’’ и K’’’.

Вращение точки на угол 180 относительно некоторой оси

Рисунок 6 - Пример решения задачи по Алгоритму 4 эквивалентно операции осевой

симметрии относительно той же оси.