Прямые занимают частное положение

Плоскость может быть задана отрезками двух фронтальных, горизонтальных или профильных прямых. В этом случае их проекции на ту плоскость, которой они параллельны, должны быть параллельны также искомому следу плоскости.

9.3.2.1 Если отрезки прямых задают плоскость частного положения, то построение выполняется, как описано в п. 9.3.1.1, иначе:

9.3.2.2 Проекции отрезков прямых, не параллельные оси абсцисс, продлить до пересечения с ней. Найти проекции следов прямых в другой плоскости проекций, на проекциях, параллельных оси Оx (Алгоритм 7.1).

9.3.2.3 По двум полученным проекциям следов построить след плоскости и найти точку схода следов (см. пп. 9.3.1.4, 9.3.1.5).

9.3.2.4 Второй след плоскости провести от точки схода следов параллельно одноименным проекциям отрезков прямых.

9.3.2.5 Если требуется, вычертить третий след плоскости по его координатам (см. Алгоритм

9.2).

Пример построений показан на рисунке 24.

 

Пусть плоскость α задана двумя фронталями АВ (f₁)и CD (f₂) (рисунок 24). Продлим фронтальные проекции отрезков прямых A’’В’’ и C’’D’’ до пересечения с осью Оx, получим фронтальные проекции горизонтальных следов каждой из прямых, M’’₁ и M’’₂, соответственно. Их горизонтальные проекции, M’₁ и M’₂, лежат на горизонтальных проекциях соответствующих прямых. Через эти две точки проводим горизонтальный след плоскости h’_0. На пересечении с осью Оx находим точку схода следов X_α. От точки

 

Рисунок 24 - Построение следов плоскости общего положения, заданной параллельными прямыми частного положения

схода следов фронтальный след плоскости f’’_0 проводим параллельно фронтальной проекции фронтали (A’’В’’ или C’’D’’).

Построение проекций геометрических элементов, принадлежащих плоскости

Прямая линия в плоскости, заданной следами

Линия общего положения

Обычно постановка задачи такова: дана одна проекция отрезка прямой, лежащей в заданной плоскости; необходимо построить вторую или обе недостающие проекции. Порядок построений, в общем, состоит из действий, обратных Алгоритму 9.3.1, и опирается на то же положение о взаимосвязи следов плоскости и принадлежащей ей прямой.

10.1.1.1 Если плоскость занимает проецирующее положение и задана проекция прямой, не лежащая на проецирующем следе, решение не требует дополнительных построений, так как в этом случае вторая проекция лежит на проецирующем следе плоскости (рисунок 25, а). Если же задана проекция, совпадающая с проецирующим следом, задача имеет бесконечное множество решений, так как любой отрезок, находящийся в проекционной связи с заданной проекцией, будет отвечать условию задачи.

Для плоскости общего положения требуется выполнить ряд построений:

10.1.1.2 Пересечь заданную проекцию отрезка прямой с одноименным следом содержащей его плоскости, затем с осью абсцисс. Полученные точки пересечения – проекции соответствующих следов прямой (см. Алгоритм 7.1).

10.1.1.3 Найти вторые проекции следов прямой: вторая проекция точки, принадлежащей следу плоскости, лежит на оси Оx, и, наоборот, вторая проекция точки на оси абсцисс принадлежит второму следу заданной плоскости.

10.1.1.4 По двум полученным во второй плоскости проекций точкам провести вторую проекцию прямой, а на ней отметить ограничивающие отрезок точки.

10.1.1.5 При необходимости, третью проекцию прямой (отрезка прямой) построить по двум имеющимся (см. Алгоритм 5.1).

 

Рисунок 25, б иллюстрирует построение второй проекции прямой общего положения в плоскости общего положения, заданной следами.

h 0_{}

 

Рисунок 25 - Отрезок прямой линии, принадлежащий заданной следами плоскости:

а) горизонтально-проецирующей; б) общего положения

Пусть задана плоскость β и горизонтальная проекция прямой C’D’, лежащей в этой плоскости (рисунок 25, б). Продлим C’D’, и на пересечении с горизонтальным следом плоскости h’_0β найдем горизонтальную проекцию горизонтального следа прямой M’, а на пересечении с Оx – проекцию фронтального следа N’. Точка M’’ лежит на оси Оx, а N’’ – на фронтальном следе плоскости f’’_0β. Проекции концов отрезка C’’ и D’’ находим в проекционной связи на прямой M’’N’’.