Плоскости, заданные параллельными или пересекающимися прямыми

Одним из способов определения линии пересечения плоскостей, заданных различными геометрическими элементами, является применение вспомогательных секущих плоскостей. В качестве таких плоскостей, как правило, применяются проецирующие плоскости или плоскости уровня. При решении используется свойство проецирующей плоскости, состоящее в том, что все принадлежащие ей линии в одной из плоскостей проекций отображаются на проецирующем следе.

15.2.1 Провести вспомогательную плоскость, проецирующий след которой пересекает две линии каждой из заданных плоскостей.

15.2.2 Обозначить точки, задающие проекции линий пересечения вспомогательной плоскости с заданными плоскостями. Эти точки находятся в местах пересечения проецирующим следом элементов, принадлежащих заданным плоскостям.

15.2.3 Найти вторые проекции этих точек на соответствующих проекциях элементов заданных плоскостей.

15.2.4 Вычертить вторые проекции линий пересечения вспомогательной плоскости с заданными и найти проекцию точки их пересечения. Это – проекция одной из точек на линии пересечения заданных плоскостей.

15.2.5 Найти вторую проекцию точки, принадлежащей искомой линии пересечения, в проекционной связи на проецирующем следе вспомогательной плоскости.

15.2.6 Повторить действия, описанные в пп. 15.2.1 – 15.2.5, для определения проекций второй точки линии пересечения заданных плоскостей.

15.2.7 Соединить одноименные проекции двух точек искомой линии пересечения.

На рисунке 38, а приведен пример использования вспомогательных секущих плоскостей для нахождения линии пересечения плоскости α, заданной треугольником FRS, и плоскости β, определяемой параллельными прямыми АВ и CD.

Построим плоскость γ, параллельную горизонтальной плоскости проекций. Фронтальный след f’’_0γ рассекает проекции сторон треугольника FRS в точках 1’’ и 2’’, соответственно, проходит через A’’ и рассекает C’’D’’ в точке 3’’. Находим вторые проекции полученных точек в проекционной связи: 1’ - на F’R’, 2’ – на S’R’ и 3’ – на C’D’. Построим горизонтальные проекции линий пересечения вспомогательной плоскости γ: с α (FRS) – 1’2’ и с β (ABDC) – A’3’. Проекции 1’2’ и A’3’ пересекаются в точке K’. Фронтальную проекцию K’’ находим в проекционной связи на следе f’’_0γ. Точка К принадлежит искомой линии пересечения плоскостей α и β.

Для определения второй точки на искомой линии пересечения используем фронтальную плоскость

δ. Ее след h’_0δ рассекает горизонтальные проекции элементов плоскости α в точках 5’ и 6’, а плоскости β – в точках 7’ и 8’. Построенные с использованием проекционной связи фронтальные проекции прямых 5’’6’’ и 7’’8’’ являются проекциями линий пересечения γ с плоскостями α и β, соответственно. Они пересекаются в точке L’’, горизонтальная проекция которой, точка L’ лежит на проецирующем следе h’_0δ. KL, линия пересечения плоскостей α и β, определена проекциями K’L’ и K’’L’’.

Рисунок 38 – Определение линии пересечения плоскостей с помощью вспомогательных секущих плоскостей: а) обе плоскости заданы отрезками пересекающихся или параллельных прямых;

б) одна из плоскостей задана следами.

В том случае, если одна из плоскостей задана следами, также используют вспомогательные секущие плоскости. Линию пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью, заданной отрезками прямых, находят по описанному выше Алгоритму. При построении линии пересечения вспомогательной проецирующей плоскости и плоскости, заданной следами, действуют в соответствии с Алгоритмами 15.1.1 или 15.1.2.

Решение задачи для такого случая показано на рисунке 38, б.

Плоскость α задана следами, а β – параллельными прямыми АВ и CD. Для решения использованы две фронтальные плоскости – γ и δ. Первая из них проходит через точку А и пересекает горизонтальную проекцию C’D’ в точке 1’. Фронтальная проекция 1’’ на C’’D’’ найдена в проекционной связи. Плоскость α фронтальной плоскостью γ рассекается по фронтали: M’₁ лежит на пересечении h’_0γ и h’_0α; M’’₁ - в проекционной связи на оси Оx; фронтальная проекция линии пересечения α и γ от M’’₁ проходит параллельно f’’_0α. Эта прямая пересекает фронтальную проекцию линии пересечения γ и β в точке K’’. Горизонтальная проекция K’ лежит на следе h’_0γ в проекционной связи. Точка К принадлежит искомой линии пересечения плоскостей α и β.

Построения с использованием фронтальной плоскости δ проводим аналогично. При использовании взаимно параллельных секущих плоскостей необходимо следить за точностью построений: 2’’3’’ должна быть параллельна A’’1’’, а M’’₂L’’ – параллельна M’’₁K’’.

KL, линия пересечения плоскостей α и β, определена проекциями K’L’ и K’’L’’.