Когда происходит бифуркация седло-узел, эти области могут принадлежать аттрактору

(если нет других устойчивых периодических орбит). Обычно наблюдается переход

От синхронизации к хаосу через прерывистость. Картина динамики близка

к рис. 7.5, с длинными ламинарными почти синхронизированными эпохами и фазовыми сдвигами; единственный

Разница в том, что промахи теперь происходят через хаотические промежутки времени.

(c)

а)

(б)

Рисунок 7.18. Разрушение инвариантной кривой и переход удвоения периода к хаосу

(сценарий I). (а) Когда собственные значения устойчивой неподвижной точки являются комплексными или

отрицательно, гладкой инвариантной кривой не существует. (б) После первого удвоения периода

неустойчивые многообразия седла накручиваются на орбиту периода два. (c) После

Каскад удвоений периода появляется странный аттрактор. Число вращения

Остается такой же.

(б)

а)

Рисунок 7.19. Два других сценария разрушения инвариантной кривой. а) Сценарий II:

Неустойчивое многообразие седла образует складку, а не плавную кривую.

(b) Сценарий III: неустойчивое многообразие седла пересекает его устойчивое многообразие,

создание гомоклинической структуры. В отличие от сценария II инвариант

Здесь существует невтягивающий хаотический набор.

Стр. Решебника 237

Синхронизация ротаторов и джозефсоновских переходов

215

Сценарий I типичен для центра области синхронизации, где стабильная

И неустойчивые периодические орбиты хорошо разделены. Здесь при увеличении форсировки

Амплитуды, описанный переход к хаосу через удвоение периода может происходить. Sce-

Нариоз II и III возникают на границе области синхронизации, обычно как частота

Отстройка увеличивается (обычно сценарий II соответствует меньшим амплитудам воздействия).

Помимо возможности хаотического поведения, есть еще две особенности

Синхронизация при большой амплитуде воздействия, которые отличаются по сравнению с малой силой воздействия.

Ings. Во-первых, динамика больше не определяется числом вращения однозначно.

Различные области синхронизации могут перекрываться, что приводит к мультистабильности, так что

Для определенных параметров периодические колебания с разными числами вращения (т. е. с

Различные рациональные соотношения между наблюдаемой и вынуждающей частотами) сосуществуют.

Это явление экспериментально наблюдали ван дер Пол и ван дер Марк.

[1927], см. Рис. 3.29. 13 Еще одно свойство, наблюдаемое при большом воздействии, заключается в том, что некоторые син-

Области хронизации могут плавно закрываться без перехода к хаосу, см. [Aronson

и другие. 1986] для подробностей.

7,4

Синхронизация ротаторов и джозефсоновских переходов

В этой главе мы рассмотрели периодические автогенераторы и эффект

Внешней силы на них. На первый взгляд форсированные ротаторы не относятся к этому классу.

Систем, потому что они не являются самоподдерживающимися. Тем не менее, если вращатели приводятся в движение

С помощью постоянной силы, они имеют те же свойства, что и автогенераторы: в фазе

В пространстве существует предельный цикл, и один из показателей Ляпунова равен нулю. Таким образом,

Вращения аналогичны колебаниям: они могут быть синхронизированы периодическим внешним

сила. Сначала мы опишем несколько примеров ротаторов, а затем обсудим их синхронизацию.

Свойства хронизации.

7.4.1

Динамика ротаторов и джозефсоновских контактов.

В качестве простейшего примера вращателя рассмотрим маятник, приводимый в движение постоянной величиной.

крутящий момент K, см. рис. 7.20a. Уравнение движения:

D 2

dt 2 + γ

d

dt + κ 2 sin

Знак равно

K

я

.

(7,69)

Здесь κ - частотамалыхколебаний (онанеимеетзначениядлявращения

Режимов, которые будут рассмотрены ниже, поэтому мы не используем наши обычные обозначения для частоты

ω), γ > 0 - постояннаядемпфирования, K - крутящий момент, I - момент инерции.

Примечательно, что, пытаясь понять мультистабильность синхронизации, Картрайт и

Литтлвуд [1945] обнаружил некоторые странные свойства динамики, которые позже позволили Смейлу

[1980], чтобы построить свою знаменитую хаотическую подкову.

Стр. Решебника 238

216

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

Уравнение (7.69) является диссипативным, и возможны два типа асимптотически устойчивых режимов.