Замкнутые петли (раздел 7.5). Действительно, если сигнал, несущий некоторую информацию, должен быть

Демодулируется с помощью эффекта фазовой синхронизации, то ясно, что такой сигнал

Нельзя рассматривать как чисто периодический, а скорее как сигнал с медленными изменениями

Частоты и амплитуды. Как это принято в теории коммуникации, эти

Вариации следует рассматривать как случайные, хотя и относительно медленные (по сравнению с

Период колебаний). В этом и заключается проблема фазовой синхронизации узкополосным

Случайная сила.

Поскольку модуляция частоты и амплитуды силы медленная, мы можем

по-прежнему использовать основное уравнение для фазовой синхронизации (9.6), но учитывать отстройку ν и

амплитуда ε какслучайныефункциивремени:

d ψ

dt = −ν (t) + ε (t) q (ψ).

(9.14)

Для изучения влияния флуктуаций на фазовую синхронизацию примем вариации

ν и ε малы. Итак, мыпишем

ν = ν 0 + ν (t),

ε = ε 0 + ε (t),

ψ = ψ 0 + ψ (t).

Предполагая, кроме того, простейший вид нелинейного члена q (ψ) = - sin ψ, мы

После линеаризации получим

d ψ

dt = −√ε 2

0 - ν 2

0

ψ + ν (t) +

ν 0

ε 0

ε (t).

Из этой линейной зависимости, предполагая независимость колебаний частоты

и амплитуды можно представить спектр мощности процесса ψ (t)

через спектры ν (t) и ε (t):

Стр. Решебника 267

Синхронизация при наличии шума

245

S ψ (ς) =

S ν (ς) + ν 2

0

ε − 2

0

S ε (ς)

ε 2

0 - ν 2

0 + ς 2

.

Эта формула (см. [Landa 1980]) показывает, что флуктуации фазы остаются

ограничена в центре области синхронизации | ν 0 | <| ε 0 |, и расходятся на его

Заканчивается. Следовательно, для заданных статистических характеристик модуляции может быть

область, где отсутствуют фазовые сдвиги, аналогично ситуации, показанной на рис. 9.3а. В

В контексте фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), это означает, что контур почти идеально

Демодулирует входной сигнал. Рядом с границами области синхронизации появляются промахи.

Неизбежно; здесь ФАПЧ работает ошибочно.

Напоминаем читателю, что переменная ψ - эторазностьфаз

Осциллятор и осциллятор внешней силы (см. уравнение (7.22)). Поэтому фазовая синхронизация

Узкополосная сила не означает отсутствие диффузии фазы: фаза

Осциллятор просто следует случайным изменениям фазы принуждения.

9.2.4

Взаимная синхронизация зашумленных генераторов

Мы рассмотрели влияние шума на синхронизацию с помощью периодической силы. В виде

Уже упоминалось в главе 8, уравнения для разности фаз двух

Связанные осцилляторы такие же, как и для периодически форсированного осциллятора. Таким образом,

Динамика разности фаз двух связанных зашумленных генераторов полностью

Описывается теорией, представленной выше. Однако разность фаз - не единственное

количество интересных для связанных осцилляторов. Во многих приложениях (например, при использовании осцилляторов)

Как часы) важно качество колебаний, т. е. коэффициенты диффузии

Отдельные фазы.

Здесь мы демонстрируем, что диффузия фаз может быть уменьшена за счет взаимодействия

пинг. Мы рассматриваем, следуя Малахову [1968], синхронизацию двух взаимно

связанные зашумленные генераторы в фазовом приближении:

˙φ 1 = ω 1 + ε 1 sin (φ 2 - φ 1) + ξ 1,

˙φ 2 знак равно ω 2 + ε 2 sin (φ 1 - φ 2) + ξ 2.

Ниже предполагается, что константы связи различны, как и интенсивности шума

〈 Ξ i (t) ξ j (t ′

) 〉 = 2 σ 2

i δ ij δ (t - t ′),

а отстройка частоты предполагается равной нулю: ω 1 = ω 2 = ω. Дляфазы

разности ψ = φ 1 - φ 2 и «суммы» фаз θ = ε 2 φ 1 + ε 1 φ 2 находим

˙ψ = - (ε 1 + ε 2) sin ψ + ξ 1 - ξ 2,

˙θ = ε 2 ξ 1 + ε 1 ξ 2 + ω (ε 1 + ε 2).

Уравнение для ψ описываетвзаимнуюсинхронизациюосцилляторов, оноэквивалентно

Alent к уравнению. (9.7). Это означает, что для разности фаз вся теория развивалась

Стр. Решебника 268

246

Влияние шума

В Разделе 9.2 выше. Мы не повторяем это здесь, а упоминаем только, что диффузия

разности фаз ψ экспоненциальномалаприбольшойсвязи. Впротивоположностьэтому,

для переменной θ нетвозвращающейсилы, поэтомунаблюдаетсясильнаядиффузия

С постоянной диффузии

D θ = 2 (ε 2

2 σ 2

1 + ε 2

1 σ 2

2),

Чему способствуют оба колеблющихся члена.

Представляя фазы осцилляторов как

φ 1 =

ε 1 ψ + θ

ε 1 + ε 2

,

φ 2 =

− ε 2 ψ + θ

ε 1 + ε 2

,

и пренебрегая разностью фаз ψ посравнениюсфазовойсуммой θ (мыможемсделать

Это из-за разницы в их константах диффузии), мы получаем для отдельных

Фазы осцилляторов одинаковые постоянные диффузии

D 1 = D 2 = D = 2 (ε 2

1 σ 2

2 + ε 2

2 σ 2

1) (ε 1 + ε 2) − 2.

(9.15)

Эту общую константу диффузии следует сравнивать с константами диффузии

Невзаимодействующие осцилляторы

D 0

1 = 2 σ 2

1,

D 0

2 = 2 σ 2

2.

Рассмотрим сначала простейший случай однонаправленной связи: ε 1 = 0. Тогда D =

2 σ 2

1 = D 0

1

: качество синхронизированного состояния такое же, как у управляющего сигнала. В

флуктуации, вызванные во втором осцилляторе зашумленным членом ξ 2, подавляются за счет

Синхронизация. Таким образом, если первый осциллятор имеет лучшее качество, он может улучшить качество