Здесь мы снова нормализуем связь по количеству осцилляторов, чтобы получить разумные

поведение в термодинамическом пределе N →∞.

Стр. Решебника 313

Обобщения

291

Мера. Таким образом, с вероятностью один, идеальная синхронизация фазы, когда все генераторы срабатывают.

Одновременно и периодически запускается в популяции. Эти результаты действительны для

любое N ≥ 2. Проиллюстрируемпереходотизначальнослучайныхфазкидеальнойсинхронизации.

в модели Миролло – Строгаца на рис. 12.3.

Связанные джозефсоновские переходы

Здесь мы демонстрируем, что можно соединить ряд идентичных джозефсоновских контактов.

Рассматривается как система глобально связанных ротаторов. Связь обеспечивается параллельным

нагрузки, как показано на рис. 12.4.

Чтобы записать уравнения системы, напомним основные свойства

соединение Джозефсона (см. раздел 7.4 и [Barone, Paterno, 1982; Likharev

1991]). Каждый стык характеризуется углом k; сверхпроводящий ток

равно I c sin k, а напряжение на переходе равно V k = ˙ ¯ h / 2 e. Ток через все

0

5

10

15

Время

0

20

40

60

80

100

Осциллятор inde

xk

Рисунок 12.3. Динамика популяции из 100 связанных интегрально-запальных генераторов.

Модель описана в тексте, значения параметров S = 2, γ = 1,

ε = 0,2. Событиясрабатываниякаждогоосцилляторапоказаныточками. Дляпрезентации

Мы отсортировали массив переменных, так что набор точек выглядит как (пунктирная) линия.

Видно, как кластеры образуются из осцилляторов с замкнутыми фазами.

я

J

р

р

C

L

Рисунок 12.4. Массив серии

Многих джозефсоновских контактов

J, связанные в силу

Параллельная RLC- загрузка.

Емкости

Стыковки не учитываются, только

Сопротивление R параллельно a

Соединение берется в

Учетная запись; это соответствует

Модель резистивного

Шунтированный переход Джозефсона.

Стр. Решебника 314

292

Популяции глобально связанных осцилляторов

Соединения такие же, так что мы можем написать

¯ h

ЭР

D k

dt + I c sin k = I -

DQ

Dt

,

(12,36)

где ˙ Q - ток через параллельную RLC- нагрузку. Уравнение нагрузки

L

D 2 Q

dt 2 + r

DQ

dt +

Q

C =

¯ h

Е

N

∑

k = 1

D k

Dt

(12,37)

Завершает уравнения движения. Один джозефсоновский переход эквивалентен ротатору,

А система (12.36) и (12.37) представляет собой систему глобально связанных ротаторов. В

Связь не появляется непосредственно в уравнениях движения каждого ротатора, потому что

«глобальная переменная» Q инерционна и регулируется отдельным уравнением.

Теперь мы продемонстрируем, следуя Wiesenfeld and Swift [1995], что для малых

Использование этой системы эквивалентно модели Курамото (раздел 12.1). Давайте рассмотрим

В случае большого внешнего тока I. Тогда средние напряжения на всех переходах

Отличным от нуля (все ротаторы вращаются), и мы можем определить фазы всех стыков в соответствии с

К нашему определению фазы как переменной, которая движется по предельному циклу с постоянной

Скорость (см. раздел 7.1). Несвязанные переходы регулируются формулой. (12,36) с

˙ Q = 0, и переход к равномерно вращающейся фазе φ можнозаписать

явно:

φ k = 2 tan − 1 [ √ I - I c

I + I c tan (

k

2 +

π

4)]

.

(12,38)

Вычисление производной от φ k по времени по формуле. (12.36) и используя тождество

Я - я Ĉ грешить

= (I 2 - I 2

в) / (I - I c cos φ)

(12,39)

Что следует из (12.38), получаем уравнения для фаз

d φ k

dt = ω 0 - ˙ Q

ω 0 (I - I c cos φ k)

Я 2 - Я 2

c

.

(12,40)

Здесь обозначена частота несвязанных вращений 2 eR √ I 2 - I 2

c / ¯ h с ω 0.

Пока никаких приближений сделано не было, и уравнение. (12.40) точное. Теперь мы используем

Метод усреднения аналогичен описанному в разделах 7.1 и 8.1. В нулевой

В приближении все фазы φ k вращаются с одинаковой частотой ω 0: φ k = ω 0 t + φ 0

K. В

RLC- нагрузка является линейной, поэтому мы можем рассматривать вклады Q k от различных переходов

В уравнении. (12.37) отдельно. Каждое соединение периодически перемещает нагрузку; эта периодическая сила

Однако не синусоидальный, а более сложный, потому что угловая переменная

Получается

из линейно вращающихся фаз φ посредствомнелинейногопреобразования (12.38). Такимобразом

Стр. Решебника 315

Обобщения

293

Сила в уравнении. (12.37) имеет много гармоник, и отклик линейной нагрузки может быть

рассчитывается по формуле. (12.37) для каждого из них:

Q k =

∞

∑

п = 0

Q kn cos (n φ k - β n).

(12,41)

Рассмотрим главную составляющую n = 1. Уравнение движения для Q k 1 получено.

После подстановки d / dt в (12.37) согласно (12.36) и выражения sin

в

члены φ спомощьюуравнения. (12,39):

L ¨ Q k 1 + (r + NR) ˙ Q k 1 +

Q k 1

C = 〈〈 R

Я 2 - Я 2

c

I - I c cos (ω 0 t + φ 0

k) 〉〉

= RI − 1

C (I 2 - I 2

в - I √ I 2 - I 2

в) cos (ω 0 t + φ 0

Л).

(12,42)

Здесь 〈〈 · 〉〉 обозначает первую гармонику периодической функции. Решение линейного

Уравнение (12.42) равно

Q k 1 = R

Я 2 - Я 2

в - I √ I 2 - I 2

c

I c √ (1 / C - L ω 2

0

) 2 + (r + NR) 2 ω 2

0

cos (ω 0 t + α + φ 0

K),

Где

cos α =

L ω 2

С

√ (1 / C - L ω 2

0

) 2 + (r + NR) 2 ω 2

0

.

Теперь мы можем подставить это решение в (12.40) и усреднить за период быстрого

вращения 2 π / ω 0. Также предположим теперь, что фазы φ 0