Ниже вы увидите, что это действительно решает проблему). Основная идея - вывести себя

Условия согласованности, по аналогии с теорией среднего поля фазы второго порядка

Переходы. Итак, мы устанавливаем

= ¯ ω t,

K = константа, ψ k = φ k - ¯ ω t,

Чтобы получить

d ψ k

dt = ω k - ¯ ω - ε K sin ψ k.

(12,5)

Это уравнение совпадает с (7.24) и имеет синхронные и асинхронные решения

Следующим образом.

(i) Синхронное решение

ψ k = sin − 1

ω k - ¯ ω

ε K

(12,6)

существует, если собственная частота k- го осциллятора близка к ¯ ω:

| ω k - ¯ ω | ≤ ε К. Соответствующие осцилляторы увлекаются средним полем.

(ii) Асинхронное решение, в котором фаза ψ k вращается согласно уравнению

(12.5) существует, если | ω k - ¯ ω | > Ε К. В этом асинхронном состоянии фазы не

Равномерно распределены; это будет учтено ниже.

Следующим шагом является определение вкладов субпопуляций синхронных

И асинхронные осцилляторы к среднему полю. Чтобы вычислить уравнения. (12.3) в пределе

N →∞ необходимознатьраспределениеразностейфаз n (ψ). Всоответствии

Для двух типов решения, мы разложим это распределение на синхронное и

асинхронные части, n s (ψ) и n as (ψ).

Стр. Решебника 304

282

Популяции глобально связанных осцилляторов

Для осцилляторов, увлекаемых средним полем, разность фаз ψ равнавремени -

Независима и определяется собственной частотой согласно (12.6), так что

распределение n s (ψ) можетбытьполученонепосредственноизраспределениясобственныхчастот

n s (ψ) = g (ω) ∣∣

∣

∣

d ω

г ψ ∣∣∣

∣

= ε Kg (¯ ω + ε K sin ψ) cos ψ, -

π

2 ≤ψ≤

π

2

. (12,7)

Для необученных осцилляторов фаза вращается, но для каждого ω k мы можем получить

Распределение фаз непосредственно из уравнения. (12,5). Поскольку фаза вращается неравномерно

во времени вероятность наблюдения значения ψ обратнопропорциональнавращению

скорость в этой точке | ˙ψ |. Такимобразом, призаданном ω k распределение фаз имеет вид

P (ψ, ω) ∼

1

| ˙ψ |

.

Подставляя (12,5) в приведенное выше и нормализуя выходы

P (ψ, ω) = (| ω - ¯ ω - ε K sin ψ | ∫

2 π

0

d ψ

| ω - ¯ ω - ε K sin ψ |

)

− 1

= √

(ω - ¯ ω) 2 - ε 2 K 2

2 π | ω - ¯ ω - ε K sin ψ |

.

(12,8)

Теперь нам нужно усреднить это распределение по g (ω), чтобыполучитьраспределение

фазы асинхронных генераторов:

n как (ψ) = ∫ | ω− ¯ ω |> ε K

g (ω) P (ψ, ω) d ω

= ∫

∞

¯ ω + ε K

g (ω) √ (ω - ¯ ω) 2 - ε 2 K 2

2 π (ω - ¯ ω - ε K sin ψ)

d ω

+ ∫

¯ ω − ε K

−∞

g (ω) √ (ω - ¯ ω) 2 - ε 2 K 2

2 π (−ω + ¯ ω + ε K sin ψ)

d ω.

Обозначая ω− ¯ ω = x и используя симметрию распределения частот g (¯ ω + x) =

g (¯ ω - x), последнюю формулу можно переписать в более компактном виде

n как (ψ) = ∫

∞

ε K

g (¯ ω + x) x √ x 2 - ε 2 K 2

π [ x 2 - ε 2 K 2 sin 2 ψ ]

Dx.

(12.9)

Теперь с помощью распределений n s и n as мы получаем самосогласованное

Уравнение для среднего поля

Ke i ¯ ω t = ∫

π

− π

e i ψ + i ¯ ω t [ n s (ψ) + n as (ψ)] d ψ.

(12.10)

Прежде всего отметим, что согласно (12.9) асинхронная часть распределения n as (ψ)

имеет период π по ψ, поэтомуоннедаетвкладавинтеграл (12.10). Такимобразом, мыполучаемдва

вещественные уравнения (действительная и мнимая части (12.10)):

К = ε К ∫ π / 2

− π / 2

cos 2 ψ · g (¯ ω + ε K sin ψ) d ψ,

(12.11)

Стр. Решебника 305

Генераторы с шумом

283

0 = ε K ∫ π / 2

− π / 2

cos ψ sin ψ · g (¯ ω + ε K sin ψ) d ψ.

(12.12)

Уравнение (12.12) определяет частоту, и мы видим, что ¯ ω былправильнымвыбором:

Это уравнение выполняется за счет симметрии частотного распределения. Мы

Осталось с формулой. (12.11), который определяет амплитуду среднего поля K. Закрытый

аналитическое решение может быть найдено только для некоторых специальных распределений g (ω).

Рассмотрим в качестве точно решаемого примера лоренцево распределение

g (ω) =

γ

π [(ω - ¯ ω) 2 + γ 2 ]

.

(12.13)

Тогда для этого распределения интеграл в (12.11) может быть вычислен точно. Через некоторое время

Манипуляциями получаем амплитуду когерентного решения

К = √ 1 -

2 γ

ε

.

(12.14)

Это нетривиальное среднее поле существует, если связь превышает критическое значение ε c = 2 γ.

Переход к синхронизации напоминает фазовый переход второго рода и может

характеризоваться критическим показателем 1/2: K ∼ (ε - ε c) 1/2. Это также верно для

общие унимодальные распределения g (ω). Посколькупрималых K только осцилляторы с

ω ∼ = ¯ ω синхронизированы, тольколокальныесвойствафункции g в окрестности

Максимум важен около порога синхронизации. Это видно из

Уравнение (12.11), где при малых K только окрестность ¯ ω даетвкладвсреднееполе.

Таким образом, полагая K малым и разлагая g (¯ ω + ε K sin ψ) в (12.11) втейлоровский

Ряд

g (¯ ω + ε K sin ψ) ≈ g (¯ ω) +

g ′′

2

ε 2 K 2 sin 2 ψ,

После подстановки в (12.11) получаем

ε c =

2

π g (¯ ω)

,

K 2 ≈

8 г (¯ ω)

| g ′′ | ε 3 (ε - ε c).

(12.15)

Проиллюстрируем синхронизирующий переход в популяции осцилляторов с

Результаты численного моделирования представлены на рис. 12.1.

12,2

Зашумленные генераторы

Здесь мы рассматриваем совокупность одинаковых осцилляторов при наличии внешних

Шум. Обычно рассматривают статистически независимые равномерно распределенные шумовые силы.

Для каждого осциллятора. В такой популяции наблюдаемые частоты всех элементов равны

Очевидно, равны, но из-за шума генераторы могут иметь полностью независимые