Функция H - это средняя сила, действующая на каждый осциллятор, и она называется порядком

Функция. Это обобщение среднего поля, использованного Курамото в его анализе.

Модели (12.1). Функция ненулевого порядка указывает на синхронизацию в

население. Дайдо [1992a, 1993a, 1995, 1996] аналитически показал, что около

Порог синхронизации, норма функции порядка пропорциональна

параметр бифуркации (а не квадратный корень из него, как в (12.15)):

H ∼ ε - ε c.

Этот результат показывает, что закон квадратного корня (12.15), полученный Курамото для

его модель (12.1) не справедлива для общей функции связи. Кроуфорд [1995], который

Включил в модель внешний шум (12.34), пришел к такому же выводу. Его главный

Результатом является то, что амплитуда Р л о л е режиме Фурье распределения, которая возникает при

Порог синхронизации, подчиняется

| P l | ∼ √ (ε - ε c) (ε - ε c + l 2 σ 2).

Таким образом, при наличии шума амплитуды P l (играющие роль порядка

параметр здесь) растет пропорционально √ε - ε c, но для исчезающего шума этот рост

медленнее пропорционально (ε - ε c) в соответствии с результатами Дайдо.

Глобально связанные слабонелинейные осцилляторы

Популяция глобально связанных слабонелинейных осцилляторов моделируется с помощью

Система (ср. уравнения (8.12) и (11.14))

D A k

dt = (µ + i ω k) A k - (γ + i α) | A k | 2 А к +

β + я δ

N

N

∑

j = 1

(A j - A k). (12,35)

Самый простой случай - изохронные генераторы (α = 0) сдиссипативнойсвязью

(δ = 0); этосоответствуетпритяжениюфазипереходусинхронизации.

В таком ансамбле аналогична заселенности фазовых осцилляторов.

(подробности см. в [Matthews and Strogatz 1990; Matthews et al. 1991]). Поэтому мы

Упомянем здесь только те особенности, которые не проявляются в фазовом приближении.

Стр. Решебника 312

290

Популяции глобально связанных осцилляторов

Смерть колебаний (гашение)

Если константа связи β иширинараспределениясобственныхчастот ω k

велики, состояние с нулевой амплитудой A k = 0 является устойчивым. Качественно это можно объяснить

Следующим образом. В случае широкого распространения у всех осцилляторов существенно различаются

Частоты и, следовательно, их влияние на другие генераторы относительно невелико. На

С другой стороны, связь диффузионного типа в (12.35) приводит к дополнительному затуханию ∼β A k

который компенсирует член роста µ A k и делает состояние A k = 0 устойчивым (см.

[Ermentrout 1990; Mirollo and Strogatz 1990a] для подробностей).

Коллективный хаос

В некотором диапазоне параметров среднее поле, определяемое как Z = N − 1 ∑ N

A k демонстрирует

нерегулярное во времени поведение. Мэтьюз и Строгац [1990] наблюдали это для

диссипативно связанные изохронные генераторы с распределением собственных частот;

позже Хаким и Раппель [1992] и Накагава и Курамото [1993, 1995] обнаружили и

Исследовали хаотическую динамику среднего поля в популяции идентичных неизохронных

Генераторы с диссипативной и реактивной связью.

Связанные релаксационные генераторы

Популяции связанных релаксационных осцилляторов часто используются для моделирования нейронных

ансамбли (см., например, [Hoppensteadt, Izhikevich 1997; ТАСС 1999]). Личность

Нейрон можно рассматривать как интегрирующий и запускающий осциллятор того типа, который описан в

Раздел 8.3, и обычно один нейрон воздействует на многие другие через свои синапсы. Один

Популярная модель глобально связанных релаксационных осцилляторов была предложена Миролло и

Строгац [1990b]; он просто обобщает модель двух взаимодействующих, объединяй и стреляй.

Системы, обсуждаемые в разделе 8.3.

Каждый из идентичных осцилляторов описывается переменной x i, подчиняющейся, в

В режиме интегрирования уравнение

Dx k

dt = S - γ x k.

Когда генератор достигает порога x k = 1, он срабатывает, т.е. переменная x k сбрасывается.

к нулю, а все остальные переменные х J, J = к вытягивают на величину ε / N. 3 Как и другие

Осцилляторы тянутся, они также могут достигать порога и срабатывать одновременно

времени. Однако мы предполагаем, что осциллятор в состоянии x = 0 (т. Е. Сразу после

срабатывание) не может быть затронуто другими, так что состояние x = 0 является поглощающим. Этот последний

Свойство обеспечивает возможность идеальной синхронизации: если два генератора срабатывают одновременно

Момент времени их будущая динамика идентична. В целом нельзя исключить

существование несинхронных конфигураций, но Миролло и Строгац [1990b] доказали

Строго, что набор всех начальных условий, которые остаются несинхронными, имеет нулевое