Экстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия экстремума.

48¹. Экстремумы функции.

Изучим свойства монотонных функций , заданных и дифференцируемых на интервале .

Утверждение 1. Если функция , дифференцируемая на интервале X, не убывает (не возрастает) на нем, то ее производная на этом интервале неотрицательная (неположительная), т.е. .

Утверждение 2. Если функция , дифференцируемая на интервале X, удовлетворяет на нем условию (), то она возрастает (убывает) на этом интервале.

48². Теорема Ферма.

Теорема Ферма. Пусть функция f определена на интервале и в некоторой точке имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке функция имеет локальный минимум или максимум (рис. 1), то касательная в этой точке к графику функции параллельна оси Ox, т. е. угол наклона касательной к оси Ox равен нулю, и .

48³. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Определения локального максимума и минимума функции в точке даны выше. Отметим, что эти понятия носят локальный характер в том смысле, что неравенство () должно выполняться лишь в некоторой -окрестности точки . Поэтому функция на заданном множестве Х может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов (рис.1).

Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума), если для всех x из некоторой -окрестности точки выполняется неравенство

при . Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.

Пусть функция имеет в точке x ₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке. Тогда, по теореме Ферма, имеем . Таким образом, обращение в нуль производной дифференцируемой функции является необходимым условием экстремума. Значения аргумента x, при которых производная равна нулю, называются стационарными (критическими) точками функции . Только стационарные точки функции могут быть точками возможного экстремума у дифференцируемой функции. Однако не каждая стационарная точка является точкой экстремума. Например, функция имеет стационарную точку , так как , но эта точка не является точкой экстремума. Поэтому целесообразно найти достаточные условия локального экстремума.

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки . Тогда, если и , то в точке функция имеет строгий локальный максимум; если же и , то в точке функция имеет строгий локальный минимум. Если имеет во всей указанной -окрестности точки за исключением, быть может, самой точки , один и тот же знак, то в точке локального экстремума нет.

Таким образом, если производная меняет знак при переходе через точку , то функция имеет в точке строгий локальный экстремум. Причем, если производная меняет знак с «+» на «–», то точка является точкой максимума, если же с «–» на «+» – точкой минимума.

Упражнение 1. Проверить, что утверждение теоремы 1 сохраняется, если условие «функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки » заменить более слабым условием «функция непрерывна в некоторой -окрестности точки и дифференцируема там за исключением, быть может, самой точки ».

Следствие 1. Пусть функция дифференцируема на , и для некоторых таких, что выполняется условие . Тогда существует точка , такая, что .

Следствие 2 (теорема Дарбу). Пусть функция дифференцируема на и для некоторых : , . Тогда для всякого числа C, такого, что найдется точка , такая, что .

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть точка есть стационарная точка функции , в которой существует производная . Тогда, если , то точка является точкой строгого локального максимума (минимума) функции .