Различные виды уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

12¹. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

А)Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим прямую, не перпендикулярную оси . Назовем углом наклона данной прямой к оси угол , на который нужно повернуть ось против часовой стрелки, чтобы ее положительное направление совпало с одним из направлений прямой (рис.1). Тангенс угла наклона прямой к оси называют угловым коэффициентом и обозначают буквой :

. (1)

Если , т.е. прямая параллельна оси , то . Если , то есть прямая перпендикулярна оси , то выражение не имеет смысла. Тогда говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».

Если известен угловой коэффициент прямой и величина отрезка , который прямая отсекает на оси , то прямая определяется уравнением

.. (2)

Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом . Если , то прямая параллельна оси , и ее уравнение имеет вид .

Итак, любая прямая, не перпендикулярная оси , имеет уравнение вида (2). Верно и обратное: любое уравнение вида (2) определяет прямую, которая имеет угловой коэффициент и отсекает на оси отрезок, величина которого равна .

Б)Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом. Если известно, что угловой коэффициент прямой равен , и прямая проходит через точку , то уравнение такой прямой имеет вид

.

В)Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Прямая, проходящая через заданные точки и определяется уравнением

Если , то уравнение искомой прямой имеет вид и такая прямая параллельна оси . Если , то прямая, проходящая через точки и , параллельна оси , ее уравнение имеет вид .

С)Общее уравнение прямой.

Утверждение 1. В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени

, (2)

и, обратно, уравнение (2) при произвольных коэффициентах ( и одновременно не равны нулю) определяет прямую в прямоугольной системе координат .

Линии, определяемые уравнениями вида (2) называются линиями первого порядка. Уравнение называется общим уравнением прямой. При различных значениях оно определяет все возможные прямые.

Д)Неполные уравнения первой степени. Уравнение прямой в «отрезках». Рассмотрим три частных случая, когда уравнение является неполным, т.е. один из коэффициентов равен нулю:

1) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси . В частности, уравнение определяет ось ординат;

3) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси . В частности, уравнение определяет ось абсцисс.

Если ни один из коэффициентов не равен нулю, то уравнение (2) приводится к виду

,

который называется уравнением прямой «в отрезках». Числа и является величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.

 

12². Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Пусть прямые и заданы уравнениями:

(2)

Если , то прямые L₁ и L₂ пересекаются в одной точке с координатами

.

Пусть теперь . Возможны два случая:

1. и Тогда имеем , где – некоторое число, и уравнения (2) определяют одну и ту же прямую.

2. (. В этом случае прямые L₁ и L₂ параллельны

Итак, две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо совпадают, либо параллельны.

 

12³. Угол между прямыми.

Рассмотрим две прямые и . Пусть уравнение имеет вид , где , уравнение – вид , где , а – угол между прямыми и , (рис.1).

Тогда один из углов между прямыми определяется условием

, (1)

а второй угол равен .

 

12⁴. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнением , определяется равенством

.

Эллипс. Его характеристики.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная .

Выберем декартову систему координат так, чтобы ось проходила через фокусы и , расстояние между которыми обозначим , а начало координат О находилось в середине отрезка (рис. 1). В такой системе координат уравнение эллипса будетиметь вид

. (1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса. Параметр определяется равенством . Эллипс симметричен относительно обеих осей координат. Эллипс пересекает ось в двух точках: и ; пересекает ось в двух точках: и . Эти четыре точки называют вершинами эллипса. Отрезок называется большой осью эллипса, а отрезок – его малой осью. Здесь .

Уравнение (1) можно рассматривать и в случае тогда оно определяет эллипс с большой полуосью фокусы такого эллипса лежат на оси Oy.

В случае, когда , уравнение (1) имеет вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат. В этом случае .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси, т.е.

.

Поскольку , то для любого эллипса , причем случай соответствует окружности.

Геометрически характеризует степень сжатия эллипса: чем больше , тем больше вытянут эллипс.

Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.

Если эллипс задан каноническим уравнением (1), то уравнения директрис имеют вид

и .

Так как , то . Откуда заключаем, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса, а левая – левее его левой вершины.