Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм.

29¹. Квадратичные формы и их матрицы.

Квадратичной формой n действительных переменных называется выражение

(1)

где вещественные числа называются коэффициентами квадратичной формы.

Квадратичную форму (1) всегда можно представить так, чтобы коэффициенты при и были равны между собой. Действительно, имеем

.

Поэтому в дальнейшем будем считать, что в квадратичной форме (1)

. (2)

Из коэффициентов квадратичной формы составим симметрическую матрицу

, (3)

которую назовем матрицей квадратичной формы.

Обратно, всякой симметрической матрице (3) соответствует единственная квадратичная форма (1) с точностью до обозначения переменных .

Рангом r квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма n переменных (1) называется невырожденной, если ее матрица А – невырождена, т.е. , и вырожденной, если .

Запишем квадратичную форму в матричном виде. Пусть – столбец, тогда – строка. Имеем

, т.е. (1΄)

В квадратичной форме (1΄) перейдем к новым переменным по формулам

или в матричной форме

, (4)

где .

Тогда получим квадратичную форму n переменных с некоторой матрицей В. В этом случае говорят, что квадратичная форма переводится в квадратичную форму линейным однородным преобразованием (4).

Две квадратичные формы называют конгруэнтными, если существует невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну из них в другую.

Определим вид матрицы В квадратичной формы , в которую переходит квадратичная форма при преобразовании (4). Подставляя (4) в (1’), получим

.

Так как

,

то В – симметрическая матрица. Значит, является матрицей квадратичной формы .

 

29². Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

1⁰. Канонические и нормальные квадратичные формы. Квадратичная форма называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, т.е. имеет вид

, (1)

где .

Каноническая квадратичная форма называется нормальной,
если , т.е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны +1 или –1.

Например, квадратичная форма , для которой , имеет канонический вид; квадратичная форма имеет нормальный вид, так как , .

Теорема 1. Любая квадратичная форма

(2)

невырожденным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.

Следствие 1. Любую квадратичную форму (2) линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду.

3⁰. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Покажем, что квадратичную форму (2) можно привести к каноническому виду.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду можно осуществить с помощью преобразования

, (14)

где в (14) Т – матрица, приводящая матрицу А квадратичной формы к диагональному виду; - векторы размерности n.

Столбцами матрицы Т служат ортонормированные собственные векторы матрицы А.

Отметим также, что в этом случае преобразование превращается в преобразование и отпадает необходимость находить обратную матрицу .

4⁰. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду невырожденным преобразованием.

29³. Знакоопределённые квадратичные формы.

2⁰. Знакоопределенные квадратичные формы. Квадратичная форма (2) называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов, т.е.

,

где

. (6)

Утверждение 1. Квадратичная форма (2) является положительно определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных .

Главными минорами квадратичной формы (2) называют миноры порядка ее матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, т.е. числа

. (7)

Квадратичная форма (2) называется отрицательно определенной, если она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные квадраты всех переменных.

Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы называют знакоопределенными квадратичными формами.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов переменных одного знака, называют полуопределенными (соответственно неотрицательными, неположительными).

Неопределенными называют квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные так и отрицательные квадраты переменных.

 

29⁴. Условия знакоопределённости квадратичных форм.

Теорема 2 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма (2) является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры (7) положительны.