Производная функции, её геометрический и физический смысл.

С целью исследования скорости изменения значений функции вводится понятие производной.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Для обозначения производной используются символы: . Таким образом, по определению

. (1)

Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Если функция имеет производную в каждой точке , то производную можно рассматривать как функцию переменной х на множестве X.

Cуществуют односторонние пределы: и , не равные между собой. Такимобразом, производная функции в точке не существует. □

Учитывая, что существуют вышеуказанные односторонние пределы, в этом случае говорят, что у рассматриваемой функции существуют односторонние производные в точке (правая и левая соответственно).

Выясним связь между существованием производной и непрерывностью функции в заданной точке.

Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь в ней производной

2⁰. Геометрический смысл производной. Пусть функция определена на интервале . Предположим, что кривая АВ является графиком этой функции (рис. 1). Пусть – произвольная точка графика. Придадим аргументу приращение D х. Соответствующую точку на графике обозначим через .

Через точки М и Р проведем секущую. Найдем угловой коэффициент секущей, проходящей через точки М и Р. Ясно, что он вычисляется по формуле (см. рис. 1) Если точку Р устремить по кривой АВ к точке М, то положение секущей будет, вообще говоря, изменяться.

Если при существует предельное положение секущей, то полученная прямая называется касательной к графику в точке . Понятно, что условием существования предельного положения секущей является существование следующего предела:

Итак, график функции имеет касательную в точке тогда и только тогда, когда функция дифференцируема в точке и является угловым коэффициентом касательной.

Составим теперь уравнение касательной в точке как уравнение прямой, проходящей через точку , , имеющей угловой коэффициент, равный :

(2)

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Учитывая условие перпендикулярности двух прямых, запишем уравнение нормали:

(полагаем, что ).

Если , то нормалью будет прямая .