Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке . Если же, кроме того, функция непрерывна в точке а справа, а в точке – слева, то функция называется непрерывной на отрезке .

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и имеет соответствующие односторонние пределы.

Утверждение 1. Монотонная на отрезке функция может иметь точки разрыва только первого рода.

Согласно этому утверждению, множество значений монотонной функции будет отрезком в том и только в том случае, если – непрерывная функция на отрезке .

Утверждение 2 (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция непрерывна в точке и . Тогда существует -окрестность точки , такая, что в этой окрестности функция имеет тот же знак, что и .

Геометрический смысл этого утверждения состоит в том, что, если функция непрерывна в точке и отлична в ней от нуля, то некоторая часть графика этой функции, проходящая через точку , не пересекает ось (рис. 1).

Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой .

Геометрический смысл этой теоремы также очевиден. Поскольку функция непрерывна на отрезке, то ее график состоит из одного «сплошного» куска. Эта кривая соединяет точки , , одна из которых лежит ниже оси Ox, вторая – выше оси Ox. Следовательно, существует точка с на оси Ox, в которой график пересекает ось Ox (рис. 2).

Теорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем . Тогда, если С – любое число, лежащее строго между и , то существует точка , такая, что .

Другими словами, непрерывная на отрезке функция принимает любое свое промежуточное значение.

Геометрический смысл этой теоремы показан на рис. 3.

37². Свойства функций, непрерывных в точке.

Основные свойства функций, непрерывных в точке, непосредственно следуют из соответствующих свойств их пределов.

Свойство 1. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции также непрерывны в этой точке (последняя при условии, что ).

Свойство 2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Непрерывность элементарных функций. Эементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операция взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных свойств о пределах и непрерывности функций вытекает, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Этот результат позволяет легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.