Интерполяция функций многочленами.

Задача интерполяции. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Существование и единственность интерполяционного многочлена. Погрешность интерполяции многочленами в равномерной норме. Минимизация погрешности интерполяции.

Задача интерполирования и аппроксимации функций

Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f (x) в нескольких точках отрезка восстановить ее значения в остальных точках данного отрезка. Разумеется, такая постановка задачи допускает сколь угодно много решений.

Задача интерполирования возникает, например, в том случае, когда известны результаты измерений y_k = f (x_k) некоторой физической величины f (x) в точках x_k, k = 0, 1 ,…, n и требуется определить ее значение в других точках. Интерполирование используется также при необходимости сгущения таблиц, когда вычисление значений f (x) по точным формулам трудоемко.

Иногда возникает необходимость приближенной замены (аппроксимации) данной функции (обычно заданной таблицей) другими функциями, которые легче вычислить. При обработке эмпирических (экспериментальных) зависимостей, результаты обычно представлены в табличном или графическом виде. Задача заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости, то есть в подборе формулы, корректно описывающей экспериментальные данные.

Интерполирование алгебраическими многочленами

Пусть функциональная зависимость задана таблицей y_{0 =} f (x₀) ;…, y₁= f (x₁);…, y_{n =} f (x_n). Обычно задача интерполирования формулируется так: найти многочлен P (x) = P_n (x) степени не выше n, значения которого в точках x_i (i = 0, 1 2,…, n) совпадают со значениями данной функции, то есть P (x_i) = y_i.

Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую вида

(7.1)

проходящую через заданную систему точек М_i (x_i,y_i) (см. рис. 7.1). Многочлен Р (х) называется интерполяционным многочленом. Точки x_i (i = 0, 1, 2,…, n)называются узлами интерполяции

Рис. 7.1. Интерполирование алгебраическим многочленом

Для любой непрерывной функции f (x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов а₀, а₁, а₂ ,…, а_n получаем систему линейных уравнений

(7.2)

определитель которой (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек x_i (i = 0, 1, 2,…, n) нет совпадающих.

Решение системы (7.2) можно записать различным образом. Однако наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.

Запишем без вывода интерполяционный многочлен Лагранжа:

(7.3)

Нетрудно заметить, что старшая степень аргумента х в многочлене Лагранжа равна n. Кроме этого, несложно показать, что в узловых точках значение интерполяционного многочлена Лагранжа соответствует заданным значениям f (x_i).