Производные функции одной и нескольких переменных.

Дифференцируемость функций и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Специальные методы дифференцирования функций.

 

Производные функции одной переменной.

Пусть ф. опред. на некотором интервале . Фиксируем любое знач. из указанного интервала и зададим аргументу в т. произвольное приращение такое, что знач. также принадлежит интервалу .

Опр1 (Приращение ф.)

Приращ. ф. в т. , соответствующим приращению аргумента , назовём число:

.

Зам.: Для того чтобы ф. являлась непрерывной в т. , необходимо и достаточно, чтобы приращение этой ф. в т. , соответствующее приращению аргумента , являлось бесконечно малым при .

Опр2 (Условие непрерывности ф. (в разностной форме))

Ф. непрерывна в т. , если приращение этой ф. в т. , соответствующее приращению аргумента , является б.б. при , т.е.: .

Считая рассм. в данной т. отношение приращения ф. в этой т. к соответствующему приращению аргумента : .

Опр3 (Производная ф. одной переменной).

Производной ф. в данной фиксированной т. называется предел при разностного отношения (при условии, что этот предел существует).

Обозначается так: .

С физической точки зрения, ф. может описывать закон движения материальной т. по прямой линии (т.е. зависимость пути , пройденного т. от начала отсчёта, до ). Тогда производная определяет мгновенную скорость точки в момент времени .

Производные функции нескольких переменных.

Чтобы рассмотреть опр. условия непрерывности, рассмотрим так называемые частные приращения ф. в т. , принадлежащей области определения ф. Зафиксируем все аргументы, кроме первого, а первому аргументу придадим произвольное приращение такое, чтобы т. с координатами находилась в области задания ф. Соответствующее приращение ф. называется частным приращением ф. в т.

, соответствующим приращению аргумента и обозначается . Таким образом: .

Опр4 (Условие непрерывности ф.)

Ф. называется непрерывной в т. по переменной , если частное приращение и этой функции в т. представляет собой бесконечно малую ф. от , т.е.: .

Зам.: При фиксированных значениях всех переменных, кроме переменной , ф. представляет собой ф. одной этой переменной.

Считая рассм. в данной т. отношение приращения ф. в этой т. к соответствующему приращению аргумента :

Опр5 (Производная ф. нескольких переменных (Частная производная)).

Если предел отношения частного приращения и ф. в т. к соответствующему приращению аргумента при , то этот предел называется частной производной ф. в т. по аргументу и обозначается одним из следующих символов: , , , .

Т.е. .

Дифференцируемость функций.

Опр6 (Понятие дифференцируемости).

Ф. называется дифференцируемой в данной т. , если приращение этой ф. в т. , соответствующее приращению арг. , может быть представлено в виде: , где – некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , являющаяся б.м. при .