Понятие аналитической функции компл. переменного.

Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей.

Пусть даны две области , , и пусть их пересечение не пусто и является областью (рис.53). Пусть ф. регулярны в областях , соответственно, и пусть эти ф. совпадают в области , т.е. , . Тогда ф. называется непосредственным аналитическим продолжением ф. из области в область .

Всё аналогично и в случае областей (рис.54). Ф. называется аналитическим продолжением ф. вдоль цепочки областей , , , . Это продолжение единственно. Полученный набор регулярных ф. определяет некоторую ф. . Её значения определяются формулой: , . Заметим, что может оказаться неоднозначной, т.е. может пересечься с и цепочка областей замкнётся (Такое возможно даже на первом шаге! рис.55).

Аналитическое продолжение вдоль кривой.

Элементом в т. будем называть ф. , регулярную в некоторой окрестности этой т.

Определение: Пусть на кривой задана непрерывная ф. , в каждой т. кривой задан элемент и этот элемент совпадает с на некоторой дуге кривой , содержащей т. .

Тогда элемент в конечной т. кривой называется аналитическим продолжением вдоль кривой элемента , заданного в нач. т. кривой .

Определение аналитической функции.

Пусть в т. задан элемент . Продолжим его аналитически по всем кривым с началом в т. , по которым такое продолжение возможно; полученное множество элементов называется аналитической функцией, порождённой элементом . Множество всех таких кривых называется множеством допустимых кривых.

Точки и линии ветвления.

Риманова поверхность.

Рассмотрим случай неоднозначности продолжения (рис.55). Пусть ф. и тождественно совпадают лишь на области пересечения областей и . Рассмотрим область , где – та часть пересечения в которой ф. и различны.

В области определена единственная аналитическая ф. , являющаяся аналитическим продолжением , заданной в области на область . Эта ф. тождественно совпадает с ф. в области и с в области . Ф. может быть аналитически продолжена на множество двумя способами: или .

Это приводит к необходимости рассмотрения многозначной аналитической ф. , определённой в области и принимающей различные значения в одних и тех же точках части области . В частности, получаем двухзначную аналитическую ф. , принимающую в одной и той же т. два различных значения, совпадающие со знач. ф. или в этой т.

Работая с многозначной ф. , встречаются трудности с выбором её значений в этой т. И для удобства пользуются понятием ветви аналитической ф. являющейся однозначной и непрерывной ф. в обл. опред. ф. . Однако более удобным оказывается иное представление: будем рассматривать данную ф. как однозначную, но определённую на более сложном многообразии, чем обычная плоскость комплексной переменной.

Будем считать, что обл. и склеены по общей части , в которой ф. и совпадают, а два экземпляра принадлежащие областям и оставлены свободными. Тогда на полученном геометрическом многообразии, представляющем собой объединение областей и склеенных по , ф. является однозначной аналитической ф.

Построенное таким образом многообразие называется Римановой поверхностью аналитической ф. , являющейся аналит. продолжением ф. (или ), а отдельные экземпляры повторяющихся областей – различными листами римановой поверхности.

Таким образом, вместо рассмотрения многозначной ф. на комплексной плоскости мы можем рассматривать однозначную ф. на Римановой поверхности.