Вычеты аналитических функций.

Пусть т. является изолированной особой т. однозначной аналитической ф. . В окрестности этой т. ф. может быть единственным образом разложена в ряд Лорана: , где и, в частности, .

Вычетом аналитической ф. в изолированной особой точке называется комплексное число, равно значению интеграла: , взятому в положительном направлении по любому лежащему в области аналитичности ф. замкнутому контуру , содержащему единственную особую т. ф. . Обозначают так: или .

Если т. является устранимой особой т. ф. , то вычет ф. в этой т. равен нулю. Для вычисления вычета ф. в её изолированной особой т. можно использовать формулу: .Однако, в ряде случаев, вычет можно вычислить, дифференцированием ф. в окрестности т. . Т.е. вычисление контурного интеграла от аналит. ф. может быть заменено вычислением производных от этой ф. в некоторых точках, лежащих внутри контура интегрирования.

1) Пусть точка является полюсом первого порядка ф. . Тогда в окрестности этой т. имеет место разложение: . Умножим обе части на и перейдя к пределу при : . Тогда, в данном случае ф. в окрестности т. может быть представлена в виде отношения двух аналитических ф.: , причём а т. является нулём первого порядка ф. , т.е. .

Тогда из полученных формул, получим формулу вычисления вычета в полюсе первого порядка: , .

2) Пусть т. является полюсом порядка ф. . Тогда формула вычисления вычета в полюсе порядка : .

Основная теорема теории вычетов.

Пусть ф. является аналитической всюду в замкнутой области , за исключением конечного числа изолированных особых т. , лежащих внутри обл. . Тогда: , где представляет собой полную границу обл. , проходимую в положительном направлении.

Док-во.

Если ф. является аналит. в замкнутой обл. , то все т. границы этой области суть правильные т. ф. . Выделим каждую из особых т. ф. замкнутым контуром , не содержащим внутри других особых т., кроме т. . В замкнутой многосвязной обл., ограниченной контуром и всеми контурами (Рис. 5.1) ф. является всюду аналитической. Поэтому по второй теореме Коши получим: . Перенеся второе слагаемое в право, мы в силу формулы и получим утверждение теоремы.

Зам.: Практическое значение этой формулы заключается в том, что во многих случаях оказывается гораздо проще вычислить вычеты ф. в особых точках, лежащих в обл. интегрирования, чем сам интеграл в левой части.

Вычисление определённых интегралов с помощью вычетов.

1) Рассмотрим интеграл вида: , где – рациональная ф. своих аргументов. Тогда равно:

где – аналит. ф., – полюса ф. , – порядок полюса .

2) Рассмотрим интеграл вида: , в смысле главного значения, т.е. . Полагаем что непрывна на . Возможность исп. вычетов, основана на том, что отрезок действительной оси рассматривается как часть замкнутого контура , состоящего из этого отрезка и дуги окружности, а интеграл по контуру записывается в виде суммы: , где – дуга окружности , . Тогда определяется как предел:

Функциональный анализ

Гильбертовы пространства

Определение и простейшие свойства. Примеры гильбертовых пространств. Понятие ортогональности в гильбертовом пространстве. Полнота системы функций в гильбертовом пространстве.

Гильбертовы пространства.