Импульс гауссовой формы в среде с дисперсией

Вероятно единственным, хорошо известным в литературе, примером, в котором изменение формы импульса в среде с дисперсией удаётся рассмотреть аналитически, является случай гауссовою импульса. Сам по себе, этот результат известен достаточно давно и обсуждается во многих обзорах и монографиях [2-5]. Ввиду исключительной простоты модели её достаточно часто используют и при интерпретации экспериментальных данных.

Огибающую импульса гауссовой формы с точностью до постоянного размерного множителя записывают в виде

где параметр t ₀ задаёт временной масштаб длительности импульса. Фурье-образ огибающей сигнала

- также гауссова функция. Подобная инвариантность гауссовых функций относительно преобразования Фурье обуславливает возможность вычисления достаточно широкого класса интегралов в аналитическом виде и является ключом к решению данного примера.

На расстоянии L от исходной точки форму огибающей импульса вычисляем по формуле (5.3)

Таким образом, распространяясь в диспергирующей среде, гауссов импульс монотонно уширяется, но по-прежнему остаётся гауссовым, т. е. сохраняет свою функциональную форму.

Рис.8.2. Определение длительности импульса с огибающей гауссовой формы.

Перепишем полученный результат в несколько иной форме. Для этого введём в употребление величину t _р - длительность импульса. Зависимость этой величины от длины среды, через которую прошел импульс, обозначим через t _р (L), а для длительности исходного импульса t _р (0) будем использовать более краткую запись - t _р0.

Экспериментально длительность импульса определяют, как показано на рис.8.2, по уровню половины от максимальной мощности излучения. Для исходного импульса это условие записывается в виде

Таким образом, длительность импульса, измеренная по уровню половины пиковой мощности, t _р0 связана с константой t ₀ соотношением

 , из которого можно явно выразить само t _р0

Интенсивность огибающей результирующего сигнала получаем домно-жением f (L, t) из (5.5) на комплексно-сопряжённую величину

Подставляя в (5.7) выражение для t _p0, преобразуем I (L, t) к виду

 

позволяющему легко получить зависимость, связывающую длительности исходного t _p0 и результирующего t _p (L) импульсов. Действуя аналогично выводу соотношения (5.6), получаем уравнение

 

 

 

 

 

Формула (5.8) представляет собой хорошо известное выражение для уширения гауссова импульса в диспергирующей среде. С помощью этого выражения в ряде работ предпринимались попытки вычислить дисперсионный параметр k ₀ ² для волоконных световодов. Однако, для сигналов негауссовой формы написать простое выражение типа (5.8) уже нельзя и необоснованное применение этой формулы может приводить к ошибкам.

Из выражения (5.7) следует, что степень деформации огибающей импульса определяется не столько конкретными числовыми значениями фигурирующих в (5.7) физических величин, сколько значением безразмерного параметра

Величина этого параметра позволяет классифицировать различные фазы эволюции сигнала. Значениям m << 1 будет соответствовать начальная фаза, условие m ~ 1 обычно называют промежуточной или переходной областью, a m >> 1 - дальней асимптотикой или, используя принятую в задачах дифракции терминологию, дальней зоной. В частности, на больших расстояниях относительное уширение гауссова импульса пропорционально длине среды L, то есть

 

 

Моделирование любых процессов возможно при использовании только безразмерных параметров. Для рассматриваемого нами круга явлений удобно произвести перенормировку «смещённого» времени t на временной масштаб t ₀, поэтому во всех последующих выражениях и подписях к рисункам, как правило, будет фигурировать «обезразмеренное» время - , определяемое как .

Динамика распространения импульса гауссовой формы в диспергирующей

Рис.8.3 Дисперсионное уширение импульса гауссовой формы.

среде во втором приближении, сопровождающаяся его монотонным уши-рением, показана на рис.8.3. Временная координата  отсчитывается от точки максимума импульса, в этом случае движущейся со скоростью v_g. Из рисунка хорошо видно, что уже для промежуточной области характерны существенные изменения параметров сигнала. Так например, положив в (5,8) m = 1, получаем увеличение длительности импульса в  раз и такое же уменьшение его пиковой мощности.

У движущегося в среде импульса сохраняется не только гауссова форма огибающей; сохраняется также и гауссова форма его спектра. Однако, прошедший слой дисперсионной среды импульс уже перестает быть спектрально-ограниченным. Произведение ширины его спектра на длительность становится больше чем у спектрально-ограниченного сигнала, для которого это произведение равно 2ln2/ p» 0,44.. и неограниченно возрастает по мере распространения. Это связано с тем, что несущая частота импульса становится модулированной по фазе.

Действительно, из выражения (5.5) для огибающей f (L, t) можно выделить медленно меняющуюся фазовую компоненту j (m, t), не связанную с несущей частотой сигнала, которая описывается соотношением

Квадратичная зависимость от времени функции j (m, t) означает, что

процесс распространения гауссова импульса в среде с дисперсией соответствует случаю, так называемого, линейного «чирпа», то есть линейной зависимости скорости сдвига несущей частоты от времени. Подобная же зависимость будет существовать и для импульсов любой другой формы, позволяя рассматривать линейную диспергирующую среду во втором приближении в качестве универсального источника линейного чирпа.