Тема 2.2: Производная функции и ее применение.

Самостоятельная работа №12: Дифференцирование функций.

Цель: закрепить формулы и правила дифференцирования функций.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1,3,4,6,8,9

Уметь: У15

 Знать: З1-З4

Количество часов: 4

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

1 вариант                                                               2 вариант                                                             

1.                               1.                                  

2. y=ln                                                                       2. y=

3. y=                                                          3. у=

4. y=sin⁴x                                                                    4. y=cos(3x-6)                                                                        

5. у=                                                             5. y=ln                                                                                                                                                    

6. y=cos6x-sin6x                                                        6. Y=

7. y=                                                7. y=

8. s=arcsin                                                                  8.  

9.y=                                                                       9.

10. y=tg2x-                                                   10.

 

Найти  для функций:                                              Найти  для функций:    

1. у=sin3x                                                                       1. у=cos4x

2. y=                                                                         2.

3. y=ln5x                                                                         3.    y=ln        

 

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы № 12

0

⊿x

x

⊿f

y

 Производная функции.

Пусть y=f(x) - непрерывная функция.

 - приращение аргумента

 - приращение аргумента

Определение: Производной функции y=f(x) в точке  называется предел отношения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение:

Обозначение: Процесс нахождения производной от данной функции называется дифференцированием

 

Физический смысл производной.

(t)

(t) - закон движения тела

- скорость движения тела в данный момент времени равна производной от пути по времени.

 

 

Сложная функция и ее производная.

Определение: Функция от функции называется сложной функцией.

y=f(u), где u=g(x), y=f(g(x)) - сложная функция

х - независимая переменная

u - промежуточная переменная

 у - функция

- Производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной функции по промежуточной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой.

 

 

Формулы дифференцирования.

 

Во всех приведенных ниже формулах буквами U и V обозначены дифференцируемые функции независимой переменной х: , а буквами  - постоянные.

Таблица производных простых и сложных функций

Простая функция	Сложная функция
с′ = 0 x′ = 1 (cx)′ = c = - (xn)′ = nxn-1 (ex)′ = ex (ln x)′ = (ax)′ = ax ln a (sin x)′ = cos x (cos x)′ = -sin x (tg x)′ = (ctg x)′ = ()′ = (arcsin x)′ = (arccos x)′ = (arctg x)′ = (arcctg x)′ =	(cu)′ =  u′ = -   (un)′ = nun-1 u′ (eu)′ = eu u′ (ln u)′ = (au)′ = au ln a u′ (sin u)′ = cos u u′ (cos u)′ = -sin u u′ (tg u)′ = (ctg x)′ =   ()′ = (arcsin u)′ = (arccos u)′ =- (arctg u)′ = (arcctg u)′ = -

Правила дифференцирования

(u+v)′=u′+v′

(u v) ′=u′v+uv′

 

 

При решении ниже приведенных примеров сделаны подробные записи.

Найдите производную функции

Пример1:

 

Пример2:

Пример3:

Пример4:

Пример5:

 

Пример6:

Пример7:

Пример8:

     

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется производной функции в точке?

2. Какую функцию называют сложной?

3. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции

4. Сформулируйте теорему о производной суммы двух функций.

5. Сформулируйте теорему о производной произведения двух функций.

6. Сформулируйте теорему о производной частного двух функций.

Критерии оценки выполнения работы:

оформление задания в соответствии с предъявленными требованиями (приложение 1)

 

Самостоятельная работа №13: Применение производной к исследованию функций и построению их графиков.

Цель: закрепить умения применять производную для изучения свойств функций и построения их графиков.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1,3,4,6,8,9

Уметь:  У16

 Знать: З1-З4

Количество часов: 3

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

Исследовать функцию и построить ее график.

1. .

2.

Вариант 1

.

Вариант 2

.

Вариант 3

.

Вариант 4

.

Вариант 5

.

Вариант 6

.

Вариант 7

.

Вариант 8

.

 

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №13