Законы теплового излучения твердого тела.

Закон Планка

Для детального изучения явления важно также знать закон распределения энергии излучения по длинам волн при различных температурах:

 - представляет собой отношение плотности потока излучения, испускаемого в интервале от  до  к рассматриваемому интервалу длин волн:

- спектральная плотность потока излучения.

Планк вывел теоретически зависимость  для абсолютно черного тела:

где  - постоянные излучения.

При

   

Закон смещения Вина

 

Закон смещения Вина устанавливает связь между температурой и длиной волн, при которых спектральная плотность принимает максимальное значение.

 

 

Закон Стефана – Больцмана

Был установлен опытным путем Стефаном (1879 г.) и обоснован теоретически Больцманом (1881 г.).

Тепловой поток, излучаемый единицей поверхности черного тела, можно определить:

Графически определяется площадью, ограниченной кривой Т = const, основанием dλ и   

ординатами λ и λ+ dλ.

 

 

Вся площадь между любой кривой T = const и осью абсцисс равна плотности потока интегрального излучения черного тела:

 

Подставляя в полученное уравнение закон Планка, имеем:

В результате интегрирования имеем:

- закон Стефана — Больцмана.

Здесь  называется константой излучения абсолютно черного тела (постоянная Стефана — Больцмана).

 

В технических расчетах закон Стефана — Больцмана применяется в более удобной форме:

где  - коэффициент излучения абсолютно черного тела.

       Плотность потока интегрального излучения (тепловой поток) прямо пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры.

       Все реальные тела, используемые в технике, не являются абсолютно черными и излучают энергии меньше. Поэтому вводят понятие о сером теле.

       Если спектр излучения непрерывен и кривая  подобна соответствующей кривой для абсолютно черного тела при той же температуре, то есть если для всех длин волн существует соотношение:

то такие тела называются серыми.

       Величину называют степенью черноты тела.

       Плотность интегрального излучения серого тела:

или

где - называется коэффициентом излучения серого тела.

       Плотность интегрального излучения серого тела составляет долю, равную от плотности интегрального излучения абсолютно черного тела.

       Величина С зависит от природы тела, состояния поверхности и температуры. Она меньше и может изменяться от 0 — 5,67.

       Значения  изменяются в пределах от 0 до 1 и берутся из таблиц.

 

Закон Кирхгофа

Он устанавливает связь между излучательной и поглощательной способностями тела.

Рассмотрим лучистый теплообмен между двумя параллельными поверхностями: серой с температурой Т и черной с температурой причем  

Составим для серой поверхности энергетический баланс.

Серая поверхность излучает энергию в количестве Е. Попадая на черную поверхность, эта энергия полностью поглощается. В свою очередь черная поверхность излучает энергию в количестве Попадая на серую поверхность, эта энергия частично поглощается ею в количестве остальная часть отражается, снова попадает на черную поверхность и полностью ею поглощается. Таким образом, для серой поверхности приход энергии равен а расход Е. Следовательно, баланс энергии:

Q = Е – АЕ₀

Лучистый теплообмен происходит и при при этом система находится в тепловом равновесии и   Q = 0. Тогда имеем:

или

Это соотношение можно распространить на любые тела, то есть

Это и есть закон Кирхгофа: отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел и равно излучательной способности абсолютного черного тела при той же температуре и зависит только от температуры.

Подставляя вместо , и сокращая температурные множители получим:

Отсюда следует, что ... - сопоставляя с получаем:

то есть поглощательная способность и степень черноты численно равны между собой, но имеют разный физический смысл.

Из закона Кирхгофа следует, что излучательная способность тел тем больше, чем больше их поглощательная способность.

Если поглощательная способность А тела мала, то мала и его излучательная способность Е. Поэтому тела, которые хорошо отражают лучистую энергию, сами излучают очень мало. Например, излучательная способность абсолютно белого тела равна 0.

Закон Ламберта

 

Законом Стефана - Больцмана определяется количество энергии, которое излучается телом по всем направлениям. Изменение излучения по отдельнымнаправлениям определяется законом Ламберта.

Каждое направление определяется углом  который оно образует с нормалью к поверхности.

 

 

Согласно закону Ламберта количество энергии, излучаемое элементом поверхности dF₁ в направление элемента dF_2, пропорционально количеству энергии излучаемой по нормали dQ_n, умноженному на величину пространственного угла и  то есть

 или

где - энергия излучения в направлении нормали.

        Следовательно, наибольшее количество энергии поверхностью излучается в направлении нормали при  С увеличением  количество излучаемой энергии уменьшается и при оно становится равным 0.

       В этом уравнении неизвестно  Для его определения уравнение необходимо проинтегрировать по поверхности полусферы, лежащей над плоскостью

        Плоский угол в абсолютных единицах измеряется отношением  где r — радиус круга, S — дуга, на которую опирается этот угол. Бесконечно малый плоский угол измеряется отношением

 

       Аналогично измеряется и пространственный (телесный) угол:

 или

 

               

      Если в сферических координатах обозначает долготу, а - полярное расстояние (широту), то направление  и  определяют бесконечно малый угол  который на сфере радиуса r вырезает сферический четырехугольник стороны которого равны:  и   

      Следовательно, телесный угол равен

       Подставляя полученное выражение в уравнение для Q, получим:

       Проинтегрируем это выражение по всей поверхности полусферы, то есть в пределах изменения угла от 0 до и угла  от 0 до  и получим:

или

 но

       Так как левые части уравнений равны, то, приравнивая их правые части, определяем неизвестную

       Из этого уравнения следует, что энергия излученная в направлении нормали в раз меньше (полного) интегрального полусферического излучения тела, определяемого по закону Стефана — Больцмана. После подстановки закон Ламберта принимает вид

 

       Это уравнение служит основой для расчета лучистого теплообмена между поверхностями конечных размеров.

       Закон Ламберта строго справедлив для абсолютно черного или серого тела. Для тел, обладающих диффузным излучением, только в пределах

       Для полированных поверхностей закон Ламберта неприменим.