Теплопроводность плоской однослойной стенки.

 

При установившемся, или стационарном тепловом режиме температура тела во времени остаётся постоянной, т. е. . При этом дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид:

или

.                                           (1.2)

Если внутренние точки теплоты отсутствуют, то уравнение (1.2) упростится и примет вид:

или

.

  Первым объектом рассмотрения является передача теплоты через плоскую стенку при .

  При решении задач теплопроводности задаются граничными условиями первого рода. Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной  с постоянным коэффициентом теплопроводности . На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры     и .

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки. Если ось Оx направить, как показано на рисунке, то температура в направлении осей Oy и Oz будет оставаться постоянной, т.е. температурное поле будет одномерным:

.

 

В связи с этим температура будет функцией только одной координаты x и дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая запишется в виде: 

.                                                 (1.3)                       

Граничные условия (1-ого рода) при рассматриваемой задачи зададим следующим образом:

при                                           (1.4)

          при .

Дифференциальное уравнение (1.2) и граничные условия (1.4) дают полную математическую формулировку рассматриваемой задачи.

Цель задачи: найти распределение температуры в плоской стенке t = f (x) и формулу для определения количества теплоты.

Закон распределения температуры по толщине стенки можно найти путём двойного интегрирования уравнения (1.3):

первое интегрирование:

второе интегрирование:                                                        (1.5)                                                                                                

Уравнение (1.5) -уравнение прямой линии. Отсюда следует, что приs w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math" w:cs="Arial"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>const</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">  температура по толщине стенки изменяется по линейному закону.

Постоянные  и  можно определить из граничных условий первого рода  (1.4):

при    и ;

     при     и .

Подставляя значения  и , получим закон распределения температуры в рассматриваемой плоскости стенке:

.

Для определения количества теплоты воспользуемся законом Фурье:

 .

Получено, что .

После подстановки в закон Фурье получим:

.                               (1.6)

Количество теплоты, переданное через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности и разности температур наружных поверхностей стенки и обратно пропорционально толщине стенки .

Следует отметить, что тепловой поток определяется не абсолютным значением температуры, а их разностью , называется температурным напором.

Отношение , [Вт/()], называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина , [  /Вт]- тепловым (термическим) сопротивление стенки.

Зная плотность теплового потока, можно вычислить количество теплоты , переданное через произвольную поверхность F за время :

.

Из уравнения (1.6) следует, что - введем это в уравнение температурного поля:

,

т.е. температура в стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.

Если учесть зависимость  от температуры, то получим более сложные формулы. Для подавляющего большинства материалов зависимость   от t определяется уравнением:

 .

После несложных преобразований можно видеть, что температура изменяется по кривой. Причём, если - положительно, то выпуклость кривой направлена вверх, если - отрицательно, то выпуклость кривой направлена вниз.