Дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности.

Дифференциальное уравнение.

Задачей инженерного исследования теплопроводности является установление изменения температуры, как функции координат и времени, т.е. установление температурного поля тела. Связь между температурой и временем устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. При решении задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности, которое справедливо для всех случаев теплопроводности. Это уравнение получено на основании закона сохранения энергии(1 закона термодинамики) и имеет следующий вид:

,

где - оператор Лапласа,

   - коэффициент темперотуроповодности .

Коэффициент температуропроводности - физический параметр вещества, который характеризует скорость изменения температуры при нестационарных процессах.

Дифференциальное уравнение теплопроводности или уравнение Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля (внутренние температурные источники отсутствуют) имеет вид:

 .

Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т.е. t = f (x, y, z),то дифференциальное уравнение теплопроводности превращается в уравнение Пуассона:

  .

1.2.2 Условия однозначности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе законов физики и описывает целый класс явлений. Для того чтобы выделить какой-то конкретный процесс к дифференциальному уравнению необходимо добавить математическое описание всех частных особенностей. Эти частные особенности конкретного процесса теплопроводности носят название условий однозначности и дают вместе с дифференциальным уравнением полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности.

Условия однозначности или краевые условия включают в себя:

§ геометрические условия - задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс теплопроводности;

§ физические условия - задаются физические параметры тела: теплопроводность, теплоемкость, плотность и т.д., может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты;

§ начальные (временные) условия - задаются законом распределения температуры внутри тела в начальный момент времени (  = 0), что необходимо для рассмотрения нестационарных процессов;

В общем случае начальные условия аналитически можно записать:

 ; .

В случае равномерного распределения температуры в теле начальные условия упрощаются:

; .

§ граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой. Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

 Граничные условия 1-го рода.

Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

,

где  - температура на поверхности тела.

В частном случае, если температура на поверхности не изменяется на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение принимает вид:

.