Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1: если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и в концах его имеет значения, противоположные по знаку, то f (x) обращается в нуль по крайней мере в одной точке интервала [ a; b ].

Геометрически результат теоремы очевиден. Если f (а) f (b) < 0, то точки А (а; f (а)) и лежат в разных полуплоскостях, на которые ось ОХ делит плоскость ХОY. График непрерывной функции у = f (x), соединяющий эти точки, обязательно пересечет ось ОХ по крайней мере в одной точке (рис.6.2).

Теорема 2: Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], причем f (а)= А, f (b)= В. Тогда каким бы ни было число С, заключенное между числами А и В, на отрезке [ a; b ] найдется по крайней мере одна точка ξ такая, что f (ξ) = С.

То есть, непрерывная на отрезке [ a; b ] функция принимает все промежуточные значения между её значениями на концах отрезка.

Теорема 3: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она ограничена на нём, то есть существует такое число К > 0, что для всех верно неравенство | f (x)| ≤ К.

Теорема 4: Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она достигает на этом отрезке своих точной нижней и верхней граней, то есть на отрезке [ a; b ] найдутся такие точки ξ и η, что

f (ξ) = m = (рис. 6.3).

Пример:

Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и указать характер разрыва функции

Решение: функции и х непрерывны в любой точке, непрерывным будет и их отношение во всех точках, где х ≠ 0. В точке х = 0 данная функция не определена, и поэтому разрывна. Но существует следовательно, разрыв в этой точке устранимый.

Положим , тогда функция

будет непрерывной в точке х = 0 (рис. 6.4).

Пример:

Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции

.

Решение: данная функция непрерывна для всех х ≠ 1(это следует из свойств непрерывных функций). Вычислим пределы слева и справа в точке х = 1. Предел слева: , так как и

Предел справа:

так как

Таким образом, пределы слева и справа существуют, но не равны, следовательно, точка х = 1 является точкой разрыва второго рода (рис. 6.5).

Пример:

Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции

Решение: данная функция является дробно-рациональной, и поэтому она непрерывна во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля. В точке х = 2 функция не определена, и, следовательно, разрывна. Вычислим односторонние пределы. Предел слева:

Предел справа: Следовательно, х = 2 – точка разрыва второго рода (рис. 6.6).

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить пределы:

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10.

2. Исследовать следующие функции на непрерывность и найти точки разрыва:

2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .

2.5. .

Ответы

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1. 1.6. – 1. 1.7. 1. 1.8. . 1.9. 1.10. 3. 2.1. В точках х = 0, х = 1 разрыв второго рода. 2.2. В точке х = 1 устранимый разрыв. 2.3. В точке х = 0 разрыв первого рода. 2.4. Точек разрыва нет, в интервале (–1; +1) функция неопределенна. 2.5. В точке разрыв второго рода.

Вопросы для самоподготовки

1. Что называется отображением?

2. Частные классы отображений.

3. Область определения и график функции.

4. Элементарные функции.

5. Предел функции в точке.

6. Условие существования предела функции.

7. Свойства функций, имеющих предел.

8. Бесконечно малые функции.

9. Эквивалентные бесконечно малые функции.

10. Первый и второй классические пределы.

11. Непрерывность функции в точке.

12. Свойства непрерывных функций.

13. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

14. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.