Свойства собственных векторов

1. Любая линейная комбинация собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному числу, является также собственным вектором с тем же собственным числом.

2. Если собственные векторы отвечают попарно различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_k, то система векторов линейно независима.

3. Собственные числа линейного оператора А: V → W не изменяются при изменении базиса.

Пример:

Найти собственные значения и собственные векторы для матрицы

Решение: составим характеристическое уравнение

.

Вычисляя этот определитель, получим (λ + 1)²(λ – 3) = 0, λ₁ = –1, λ₂ = 3.

Система для определения собственного вектора, соответствующего собственному значению λ₂ = 3 имеет вид:

Третье уравнение равно разности второго и первого, поэтому его можно вычеркнуть из системы. Получим систему

В качестве свободной неизвестной величины можно выбрать х₃ и выразить через неё неизвестные х ₁ и х ₂. Получим

Полагая х ₃ = 2, найдем собственный вектор

Аналогично найдём собственный вектор, соответствующий собственному числу λ₁ = –1,

Заметим, что собственному числу λ₁ = –1 кратности 2 соответствует лишь один с точностью до постоянного множителя собственный вектор, так как в рассматриваемом примере rang(A – λT) = 2 при λ = –1. Таким образом, матрица А имеет лишь два линейно независимых собственных вектора.

Задания для самостоятельной работы

1. Найти длину и направляющие косинусы вектора:

1.1. . 1.2. .

2. Найти орт вектора:

2.1. . 2.2. . 2.3. .

3. Образуют ли трапецию точки А (3;–1;2), В(1;2; –1), С(–1;1; –3), D (3; –5;3)?

4. Точки А, В, С, D – вершины параллелограмма. Точка О – точка пересечения его диагоналей (его центр). Найти разложение векторов по векторам .

5. Вычислить скалярное произведение векторов:

5.1. и . 5.2. и . 5.3. и .

6. Найти пр и пр :

6.1. , . 6.2. , . 6.3. , .

7. Вычислить векторное произведение векторов:

7.1. и . 7.2. , . 7.3. , .

8. Найти синус угла между векторами:

8.1. и . 8.2. и . 8.3. и .

9. Указать левой или правой тройкой являются векторы :

9.1. , , . 9.2. , , . 9.3. , , .

10. Компланарны ли векторы:

10.1. , , . 10.2. , , .

11. Найти объём тетраэдра построенного на векторах :

11.1. , , . 11.2. , , .

12. Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

13. Показать, что собственные векторы матрицы ортогональны.

Ответы

1.1. 1,66; 0,12; 0,24; 0,96. 1.2. 70; 2/7;3/7;-6/7. 2.1. . 2.2. . 2.3. 0,27 i +0,53 j +0,80 k. 3. Да. 4. ; ; ; . 5.1. –5. 5.2. 10. 5.3. 0. 6.1. пр , пр . 6.2. пр , пр . 6.3. пр , пр . 7.1. 6 i – 3j. 7.2. 20 i – 20 j – 10 k. 7.3. (3;4;-2). 8.1. 1. 13.2. (167/185)^1/2. 8.3. (5/56)^1/2. 9.1. Левая. 9.2. Правая. 9.3. Левая. 10.1. Нет. 10.2. Да. 11.1. 24 куб.ед. 11.2. 2 куб.ед. 12. λ₁ = 1, λ₂ = 2, λ₃= 3. , 13. λ₁ = 9, λ₂= 6, λ₃ = 3.

Вопросы для самоподготовки

1. Векторы.

2. Линейные операции над векторами и их свойства.

3. Линейные пространства. Типы линейных пространств.

4. Чему равна проекция вектора на ось?

5. Координаты вектора в декартовой прямоугольной системе координат. Длина вектора.

6. Коллинеарные векторы. Условие коллинеарности векторов.

7. Скалярное произведение векторов, его свойства.

8. Угол между векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.

9. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

10. Геометрический и физический смысл скалярного произведения.

11. Евклидово пространство. Норма вектора.

12. Векторное произведение двух векторов.

13. Векторное произведение векторов в координатной форме.

14. Геометрический, физический и механический смысл векторного произведения.

15. Смешанное произведение трех векторов.

16. Смешанное произведение в координатной форме.

17. Геометрический смысл смешанного произведения.

18. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского

19. Определение Линейного оператора.

20. Действия над линейными операторами.

21. Обратный оператор.

22. Собственные векторы и собственные числа.

23. Свойства собственных векторов.