Свойства произведения матриц

1. В общем случае АВ ≠ ВА.

2. Если А согласуется с В, а В согласуется с С, то

(АВ) С = А(ВС) и (А+В) С = АС + ВС.

3. АЕ = ЕА = А, где Е – единичная матрица.

Обратная матрица

Определение. Матрица А ^–1 называется обратной матрицей для матрицы А, если выполняется равенство:

А∙А ^-1 = А ^-1∙ А = Е,

где Е – единичная матрица.

Обратной матрицей обладают квадратные матрицы, определитель которых отличен от нуля (невырожденные матрицы). Обратная матрица у вырожденных матриц не существует.

Порядок нахождения обратной матрицы

1. Вычислить определитель матрицы А, то есть найти | А |.

2. Найти все алгебраические дополнения А _ij для элементов матрицы А.

3. Из алгебраических дополнений А _ij составить матрицу С: с_ij = А _ij и транспонировать её, то есть найти С ^Т.

4. Записать ответ в виде или

.

Пример:

Найти А ^-1, если .

Решение: 1. Вычислим определитель матрицы

.

2. Найдем алгебраические дополнения для матрицы А:

; ; ; ;

; ; ; .

3. Из А _ij составим матрицу С и транспонируем её:

;

Ответ: .

Обратная матрица на компьютере Excell вычисляется по команде "=МОБР()" в виде скрытого массива. Доступ к элементу с _i,j обратной матрицы даёт команда "=ИНДЕКС(МОБР(); i; j)"

Матричное представление системы линейных уравнений

Если из коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений

составить матрицу А, из неизвестных величин матрицу Х, а из чисел правой части уравнений матрицу В, то система линейных уравнений запишется в виде матричного уравнения (1.5)

АХ = В, (1.5)

где

 

Решение СЛУ матричным способом

Умножив обе части уравнения (1.5) на А ^–1, получим:

А ^–1∙ АХ = А ^–1∙ В

Поскольку произведение А ^–1∙ А = Е, а произведение ЕХ = Х, то

Х = А ^–1∙ В.

Как и для метода Крамера, матричный способ требует равенства числа неизвестных числу уравнений и неравенства нулю определителя матрицы А.

Пример:

Решить систему уравнений:

Решение: по данной системе составляем матрицы:

; ; .

Матрица А ^–1 вычислена в предыдущем примере, поэтому сразу находим матрицу Х:

Ответ: x = 3; y = ^–3; z = 1.

Исследование СЛУ

Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы

Элементарными преобразованиями матрицы А называются:

1) перестановка двух строк матрицы;

2) вычёркивание строки состоящей исключительно из нулей;

3) умножение какой-либо строки на число λ ≠ 0;

4) линейное преобразование строки матрицы, которое означает сложение элементов одной строки с соответствующими элементами другой строки, умноженных на число λ ≠ 0.

Аналогичные элементарные преобразования матрицы можно выполнять и со столбцами матрицы.

С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к специальному виду, где на главной диагонали стоит r единиц формула (1.6).

Число r единиц, стоящих на главной диагонали, не зависит от способа приведения матрицы А к виду А _r и называется рангом матрицы А и обозначается r = rang A.

Матрицы, полученные друг из друга элементарными преобразованиями, не меняют ранга и называются эквивалентными матрицами: А ~ А _r.

Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.

. (1.6)

Пример:

Найти ранг матрицы .

Решение: выполняя элементарные преобразования над данной матрицей, получим следующую систему эквивалентных матриц:

~ ~ ~

~ ~ ~ ~ .

Следовательно, ранг матрицы А равен 2.

Ответ: r = 2.