Линейные операторы и их матрицы

Понятие линейного оператора

Пусть V и W – два линейных пространства. Отображение А: V → W называется линейным оператором, если

, где , α, β ∈ R.

Вектор называется образом вектора V.

Оператор, который каждому вектору V ставит в соответствие нулевой вектор , называется нулевым оператором и обозначается О. Таким образом, , V.

Линейный оператор А, для которого , V, называется тождественным и обозначается Е.

Оператор А, удовлетворяющий соотношению , где α ∈ R, называется скалярнымоператором или оператором подобия.

Областью значений линейного оператора А: V → W называется множество векторов вида , V, и обозначается im A (англ. image − образ).

Ядром линейного оператора А называется множество ker А всех V, для которых (англ. kernel − ядро).

Матрица линейного оператора

Пусть V – линейное пространство с базисом , а А – линейный оператор, действующий из в линейное пространство W, базисом которого служат векторы . (Для простоты изложения будем рассматривать линейные пространства V размерности n =2 и W – m = 3.) Тогда любой вектор V можно представить в виде . В силу линейности оператора А получим

(2.19)

Векторы W однозначно разлагаются по базису векторов пространства W:

(2.20)

где (а ₁₁; а ₂₁; а ₃₁) и (а ₁₂; а ₂₂; а ₃₂) – координаты векторов и соответственно в базисе . Так как вектор тоже принадлежит пространству W, то аналогично

, (2.21)

где у ₁ и у ₂ – координаты вектора в пространстве W. Из формул (2.19), (2.20) и (2.21) получим

,

откуда, приравняв координаты при соответствующих векторах , получим систему равенств вида

(2.22)

Равенства (2.22) позволяют вычислить координаты у ₁, у ₂, у ₃ вектора

при линейном отображении

А: V → W

через координаты х ₁, х ₂ вектора V, линейный оператор А имеет вид

. (2.23)

Из равенств (2.22) и (2.23) следует, что при заданных базисах в пространстве V и в пространстве W линейный оператор А: V → W полностью определяется матрицей

, (2.24)

которая называется матрицей линейного оператора А выбранных базисах.

Между множествами матриц и линейных операторов устанавливается взаимно-однозначное соответствие, поэтому линейные операторы и соответствующие им матрицы обозначают одними и теми же буквами, то есть если А – линейный оператор, то А – его матрица.

Таким образом, равенство в координатной форме имеет вид

. (2.25)

Примеры линейных операторов

Если А: R² → R² или А: R³ → R³ – линейные операторы. действующие в пространстве R² или R³, то их матрицы имеют вид

или

соответственно. Эти операторы переводят векторы из R² в векторы из R² или векторы из R³ в векторы того же пространства R³. Рассмотрим некоторые таких линейных операторов.

Пусть А – оператор подобия, отображающий вектор в некоторый параллельный ему вектор . Линейность этого оператора очевидна.

Если – базис пространства R³, то

и, значит, матрица этого оператора

.

При α = 1 получим матрицу Е тождественного оператора, при α = –1 – матрицу – Е оператора, противоположного тождественному, при α = 0 – матрицу нулевого оператора.

Пусть А – оператор поворота векторов плоскости R² вокруг начала координат на угол φ против часовой стрелки. Это преобразование линейно.

Найдем матрицу оператора поворота. Из рис. 2. 12 видно, что

так что матрица поворота в базисе имеет вид

. (2.26)

Матрица А, определённая равенством (2.26), называется матрицей перехода от старого базиса к новому (рис. 2.12).

Используя матрицу (2.26), получим формулы преобразования координат вектора при повороте на угол φ. Пусть х ₁, х ₂ – координаты вектора , тогда координаты у ₁, у ₂ вектора при повороте вектора на угол φ определяются из соотношений

Пример:

Пусть А: R³ → R² – линейный оператор, для которого , где

Найти матрицу перехода оператора А.

Решение: согласно условию и равенству (2.24), матрица А имеет две строки и три столбца:

По определению,

так что

Матрицу А получить проще, если воспользоваться тем, что её строки составлены из коэффициентов разложения координат вектора по координатам вектора , то есть из условия задачи следует, что

у ₁ = 1∙ х ₁ – 1∙ х ₂ + 0 ∙ х ₃, откуда а ₁₁ = 1, а ₁₂ = – 1, а ₁₃ = 0;

у ₁ = 0 ∙ х ₁ + 1∙ х ₂ + 2 ∙ х ₃, откуда а ₂₁ = 0, а ₂₂ = 1, а ₂₃ = 2.