Второй этап компактификации искривленных измерений

Подобно тому, как это было сделано в п. 13, выражение (20.5) можно свести к двум слагаемым

‹ ds ^(–)2› + ‹ ds ⁽⁺⁾²› = ‹ g_ij ⁽⁺⁾› dxⁱdx^j + ‹ g_ij ^(–)› dxⁱdx^j = 0, (21.1)

где

(21.2)

– квадратичная форма, являющаяся результатом усреднения семи метрик из (20.4) с сигнатурами, входящими в числитель левого ранжира (13.1) или (21.4);

(21.3)

– квадратичная форма, являющаяся результатом усреднения семи усредненных метрик из (20.4) с сигнатурами, входящими в числитель правого ранжира (13.1) или (21.4).

(+ + + +) (– – – +) (+ – – +) (– – + –) (+ + – –) (– + – –) (+ – + –) (+ – – –)+

+ + + + + + + +

(– – – –) (+ + + –) (– + + –) (+ + – +) (– – + +) (+ – + +) (– + – +) (– + + +)+

(21.4)

 

 

Таким образом, из всей совокупности l_m¸n- вакуумных флуктуаций можно выделить:

– усредненную «внешнюю» сторону 2³ -l_m¸n- вакуумной протяженности (или усредненный субконт) с усредненной метрикой

 

 

ds ^{(+ – – –)2} = ds ^(–)2 = g_ij ^(–) dxⁱdx^j с сигнатурой (+ – – –) (21.5)

где (21.6)

– усредненную «внутреннюю» сторону 2³ -l_m¸n- вакуумной протяженности (или усредненный антисубконт) с метрикой

ds ^{(– + + +)2} = ds ⁽⁺⁾² = g_ij ⁽⁺⁾ dxⁱdx^j с сигнатурой (– + + +), (21.7)

где . (21.8)

Для сокращения записей знаки усреднения в метриках (21.5) – (20.8) опущены.

На рис. 21.1 условно показан усредненный участок двухсторонней 2³ -l_{m ¸ n} - вакуумной протяженности, внешняя сторона которой (субконт) описывается метрикой ds ^(–)2 (21.5) , а внутренняя сторона (антисубконт) – метрикой ds ⁽⁺⁾² (21.7).

 

 

Внутренняя 4-мерная сторона ВП   ds (+)2 = gij (+) dxidxj , сигнатура(– + + +)

Внешняя 4-мерная сторона ВП   ds (–)2 = gij (–) dxidxj, сигнатура (+ – – –)

 

 

Рис. 21.1. Упрощенная иллюстрация участка двухсторонней 2³ -l_{m ¸ n} -вакуумной протяженности (ВП),

внешняя сторона которой описывается 4-метрикой ds ^(–)2, а внутренняя сторона

– 4-метрикой ds ⁽⁺⁾², при ε → 0

 

21. Тензор 4-деформаций 2³- l_m¸n -вакуумной протяженности

Пусть исходное неискривленное метрико-динамическое состояние исследуемого участка внешней стороны 2³ -l_m¸n- вакуумной протяженности (т.е. усредненного субконта) характеризуется усредненной метрикой

ds ₀^(–)2 = g_{ij 0}^(–) dxⁱ dx^j с сигнатурой (+ – – –), (22.1)

а искривленное состояние того же участка задается усредненной метрикой

ds ^(–)2 = g_ij ^(–) dxⁱ dx^j с той же сигнатурой (+ – – –). (22.2)

Отличие искривленного состояния участка субконта от его неискривленного состояния определяется разницей вида (19.3)

ds ^(–)2 – ds ₀^(–)2 = (g_ij ^(–) – g_{ij 0}^(–)) dxⁱdx^j = 2 e_ij ^(–) dxⁱdx^j, (22.3)

где

e_ij ^(–) = ½ (g_ij ^(–) – g_{ij 0}^(–)) (22.4)

– тензор 4-деформаций локального участка субконта.

Относительное удлинение искривленного участка субконта равно [17]

. (22.5)

Откуда следует

ds ^(–)2 = (1 + l ^(–))² ds ₀^(–)2. (22.6)

Подставляя (22.6) в (22.3) с учетом (22.4) имеем [17]

e_ij ^(–) = ½ [(1 + l ^(–))² – 1] g_{ij 0}^(–), (22.7)

или в развернутом виде

e_ij ^(–) = ½ [(1 + l_i ^(–))(1 + l_j ^(–)) cos b_ij ^(–) – cos b_{ij 0}^(–)] g_{ij 0}^(–), (22.8)

где

b_{ij 0}^(–) – угол между осями x_i и x_j системы отсчета, «вмороженной» в исходное неискривленное состояние исследуемого участка субконта;

b_ij ^(–) – угол между осями x_i ¢ и x_j ¢ искаженной системы отсчета «вмороженной» в искривленное состояние того же участка субконта.

При b_{ij 0}^(–) = p /2 выражение (22.8) принимает вид

e_ij ^(–) = ½ [(1 + l_i ^(–))(1 + l_j ^(–)) cos b_ij ^(–) – 1] g_{ij 0}^(–). (22.9)

Для диагональных компонентов тензора 4-деформаций e_ii ^(–) выражение (22.9) упрощается

e_ii ^(–) = ½ [(1 + l_i ^(–))² – 1] g_{ii 0}^(–), (22.10)

откуда следует [17]

(22.11)

Если деформации e_ij ^(–) малы, то, разложив выражение (22.11) в ряд, и ограничившись первым членом ряда, получим относительное удлинение субконта

. (22.12)

Аналогично, деформация локального участка внутренней стороны 2³ -l_m¸n- вакуумной протяженности (усредненного антисубконта) определяется выражением

ds ⁽⁺⁾² – ds ₀⁽⁺⁾² = (g_ij ⁽⁺⁾ – g_{ij 0}⁽⁺⁾) dxⁱdx ^j = 2 e_ij ⁽⁺⁾ dxⁱdx ^j, (22.13)

где

e_ij ⁽⁺⁾ = ½ (g_ij ⁽⁺⁾ – g_{ij 0}⁽⁺⁾) (22.14)

– тензор 4-деформаций локального участка антисубконта;

ds ₀⁽⁺⁾² = g_{ij 0}⁽⁺⁾ dxⁱ dx^j с сигнатурой (– + + +) (22.15)

– метрика неискривленного состояние антисубконта;

ds ⁽⁺⁾² = g_ij ⁽⁺⁾ dxⁱ dx^j с той же сигнатурой (– + + +) (22.16)

– метрика искривленного состояние антисубконта.

Относительное удлинение антисубконта

(22.17)

Определим тензор 4-деформаций двусторонней 2³ -l_{m ¸ n}- вакуумной протяженности как среднее

e_ij ^(±) = ½ (e_ij ⁽⁺⁾ + e_ij ^(–)) = ½ (e_ij ^{(– + + +)} + e_ij ^{(+ – – –)}), (22.18)

 

или, с учетом (22.4) и (22.14)

e_ij ^(±) = ½ (g_ij ⁽⁺⁾ + g_ij ^(–)) – ½ (g_{ij 0}⁽⁺⁾ + g_{ij 0}^(–)) = ½ (g_ij ⁽⁺⁾ + g_ij ^(–)), (22.19)

 

т.к. согласно «вакуумному условию» (4.6):

g_{ij 0}⁽⁺⁾ + g_{ij 0}^(–) = g_{ij 0}^{(– + + +)} + g_{ij 0}^{(+ – – –)} = 0.

Относительное удлинение локального участка двухсторонней 2³ -l_{m ¸ n}- вакуумной протяженности l_i ^(±) в этом случае следует вычислять с помощью формулы

 

, (22.20)

где

(22.21)

 

Поскольку в любом случае одна из компонент g_{ij 0}^(–) или g_{ij 0}⁽⁺⁾ является отрицательным числом, относительное удлинение (22.21) является комплексным числом.

Рис. 22.1. Соотношение отрезков ds (–) и ds (+)   Рис. 22.2. Если спроецировать такую двойную спираль на плоскость, то в месте пересечения ее линии всегда взаимно перпендикулярны

В этой связи отметим следующее важное обстоятельство. Если обе стороны выражения (22.19) умножить на dxⁱdx^j, то получим усредненную квадратичную форму

ds ^(±)2 = (ds ^(–)2 + ds ⁽⁺⁾²), (22.22)

которая напоминает теорему Пифагора a ² + b ² = c ². Это означает, что отрезки линий ()^1/2 ds ^(–) и ()^1/2 ds ⁽⁺⁾ всегда взаимно перпендикулярны по отношению друг к другу ds ^(–)_^ ds ⁽⁺⁾ (рис. 22.1), а две линии, направленные в одном и том же направлении, могут быть всегда взаимно перпендикулярны только в том случае, когда они образуют двойную спираль (рис. 22.2).

Таким образом, усредненная метрика (22.22) соответствует отрезку «жгута», состоящего из двух взаимно перпендикулярных спиралей s ^(–) и s ⁽⁺⁾. При этом, также как усредненное относительное удлинение (22.21), участок данной «двойной спирали» можно описать комплексным числом

ds ^(±) = (ds ^(–) +ids ⁽⁺⁾), (22.23)

квадрат модуля которого равен (22.22).

Определение № 22.1 k-жгут – это результат усреднения метрик с разными сигнатурами (где k – число усредняемых метрик, т.е. число «нитей» в «жгуте»).

В частности, усредненная метрика (22.22) называется 2-жгутом, так как она «скручена» из 2-х линий(«нитей»): ds ^(–) = ds ^{(+ – – –)} и ds ^(–) = ds ^{(– + + +)}.

На следующем, более глубинном 16 - стороннем, уровне рассмотрения метрико - динамические свойства локального участка 2⁶ -l_{m ¸ n}- вакуумной протяженности характеризуются суперпозицией (т.е. аддитивным наложением или усреднением) шестнадцати 4-метрик со всеми 16-ю возможными сигнатурами (11.5), т.е. 16-жгутом:

ds _S² = 1/16 (ds ^{(+ – – –)2} + ds ^{(+ + + +)2} + ds ^{(– – – +)2} + ds ^{(+ – – +)2} +

 

+ ds ^{(– – + –)2} + ds ^{(+ + – –)2} + ds ^{(– + – –)2} + ds ^{(+ – + –)2} + (22.24)

 

+ ds ^{(– + + +)2} + ds ^{(– – – –)2} + ds ^{(+ + + –)2} + ds ^{(– + + –)2} +

 

+ ds ^{(+ + – +)2} + ds ^{(– – + +)2} + ds ^{(+ – + +)2} + ds ^{(– + – +)2}) = 0.

 

В этом случае имеем 16 тензоров 4-деформаций всех типов 4-пространств

, (22.25)

где e_ij ^(p) = ½ (с_ij ^(p) – с_{ij 0}^(p)) (22.26)

– тензор 4-деформаций p -го 4-подпространства.

с_{ij 0}^(p) – метрический тензор неискривленного участка p -го 4-подпространства;

с_ij ^(p) – метрический тензор того же, но искривленного участка p -го 4-подпространства.

При 16-стороннем уровне рассмотрения общий тензор 4-деформаций e_{ii (16)} локального участка 2⁶ -l_{m ¸ n}- вакуумной протяженности равен

e_{ij (16)} = 1/16 (e_ij ⁽¹⁾+ e_ij ⁽²⁾+ e_ij ⁽³⁾+ e_ij ⁽⁴⁾+ e_ij ⁽⁵⁾+ e_ij ⁽⁶⁾+ e_ij ⁽⁷⁾+ e_ij ⁽⁸⁾+ e_ij ⁽⁹⁾+

+ e_ij ⁽¹⁰⁾+ e_ij ⁽¹¹⁾+ e_ij ⁽¹²⁾+ e_ij ⁽¹³⁾+ e_ij ⁽¹⁴⁾+ e_ij ⁽¹⁵⁾+ e_ij ⁽¹⁶⁾), (22.27)

а относительное удлинение локального участка вакуума в этом случае следует вычислять по формуле

l_{i (16)} = η ₁ l_i ⁽¹⁾₍₁₆₎ + η ₂ l_i ⁽²⁾₍₁₆₎ + η ₃ l_i ⁽³⁾₍₁₆₎ +…+ η ₄ l_i ⁽¹⁶⁾₍₁₆₎ , (22.28)

где

. (22.29)

где η_m (где m = 1, 2, 3, …, 16) – ортонормированный базис объектов, удовлетворяющих антикоммутационному соотношению алгебры Клиффорда

η_mη_n + η_nη_m = 2 δ_mn, (22.30)

где δ_nm – единичная 16´16-матрица.

При этом участок 16-жгута состоит из шестнадцати «нитей»:

 

 

ds ₍₁₆₎ = η ₁ ds ^{(+– – –)} + η ₂ ds ^{(+ + + +)} + η ₃ ds ^{(– – – +)} + η ₄ ds ^{(+ – – +)} +

 

+ η ₅ ds ^{(– – + –)} + η ₆ ds ^{(+ + – –)} + η ₇ ds ^{(– + – –)} + η ₈ ds ^{(+ – + –)} + (22.31)

 

+ η ₉ ds ^{(– + + +)} + η ₁₀ ds ^{(– – – –)} + η ₁₁ ds ^{(+ + + –)} + η ₁₂ ds ^{(– + + –)} +

 

+ η ₁₃ ds ^{(+ + – +)} + η ₁₄ ds ^{(– – + +)} + η ₁₅ ds ^{(+ – + +)} + η ₁₆ ds ^{(– + – +)} = 0.

 

 

Если все линейные формы ds ^{(+– – –)}, ds ^{(+ + + +)}, …, ds ^{(– + – +)} удается представить в диагональном виде, то в соответствии с (14.13) в выражение (22.31) можно представить в спинтензорном виде

ds ₍₁₆₎ = +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+ +

+ (22.32)

 

Возможны еще более глубинные 2 ⁿ -сторонние уровни рассмотрения метрико - динамических свойств «вакуума» (пп. 1.2.9, 1.2.13 в [5]), с расширением количества компонент метрического тензора до бесконечности.