Дираковское «расслоение» квадратичной формы

Рассмотрим дираковское «расслоение» квадратичной формы на примере метрики

= dx ₀² + dx ₁² + dx ₂² + dx ₃²с сигнатурой (+ + + +). (15.1)

Представим данную метрику в виде произведения двух аффинных (линейных) форм

. (15.2)

Раскрывая в данном выражении скобки, получим

(15.3)

Существует, по крайней мере, два варианта определения величин g_m , удовлетворяющих условию равенства выражений (15.1) и (15.3):

1) метод клиффордовых агрегатов (например, кватернионов);

2) метод Дирака.

В первом случае линейные формы, входящие в выражение (15.2), представляются в виде пары аффинных агрегатов с условными названиями:

– «личина» метрической протяженности(15.4)

с сигнатурой(+ + + +) (опр. 24.1);

– «изнанка» метрической протяженности(15.5)

с сигнатурой(+ + + +) (опр. 24.2),

где g_m – объекты, удовлетворяющие антикоммутативному отношению алгебры Клиффорда

g_mg_η + g _η g_m = 2 d_{m η} , (15.6)

где

– символы Кронекера(15.7)

 

Во втором случае, метод Дирака предполагает вместо символов Кронекера (15.7)использовать единичную матрицу

(15.8)

тогда условию (15.6)удовлетворяет, например, следующий набор 4´4-матриц Дирака:

(15.9)

Эти матрицы можно рассматривать в качестве образующих соответствующей алгебры Клиффорда.

В этом случае выражение (15.3)приобретает матричный вид

, (15.10)

где (15.11)

Выражение (15.10) с учетом (15.8) может быть представлено в виде

(15.12)

Вернемся к квадратичной форме (15.1) и ее дираковскому расслоению (15.10)

(15.13)

где (15.14)

Рассмотрим всевозможные варианты записи выражения (15.13).

Воспользуемся следующим базисом из шестнадцати всевозможных γ_mρ -матриц Дирака:

(15.15)

Метод Дирака, в отличие от метода аффинных агрегатов, позволяет одновременно «расслаивать» сразу четыре метрических пространства с четырьмя метриками, являющимися компонентами матрицы (15.11).

В Алгебре сигнатур рассматриваются квадратичные формы (13.7) с шестнадцатью всевозможными сигнатурами.

d сигнатурами.ких протяженностей с различными сигнатурами. s (+ + + +)2 = dx 02 + dx 12 + dx 22 + dx 32 ds (– – – +)2 = – dx 02 – dx 12 – dx 22 + dx 32 ds (+ – – +)2 = dx 02 – dx 12 – dx 22 + dx 32 ds (+– – –)2 = dx 02 – dx 12 – dx 22 – dx 32 ds (– – + –)2 = – dx 02 – dx 12 + dx 22 – dx 32 ds (– + – –)2 = – dx 02 + dx 12 – dx 22 – dx 32 ds (+ – + –)2 = dx 02 – dx 12 + dx 22 – dx 32 ds (+ + – –)2 = dx 02 + dx 12 – dx 22 – dx 32

ds (– – – –)2 = – dx 02 – dx 12 – dx 22 – dx 32 ds (+ + + –)2 = dx 02 + dx 12 + dx 22 – dx 32 ds (– + + –)2 = – dx 02 + dx 12 + dx 22 – dx 32 ds (– + + +)2 = – dx 02 + dx 12 + dx 22 + dx 32 ds (+ + – +)2 = dx 02 + dx 12 – dx 22 + dx 32 ds (+ – + +)2 = dx 02 – dx 12+ dx 22 + dx 32 ds (– + – +)2 = – dx 02 + dx 12 – dx 22 + dx 32 ds (– – + +)2 = – dx 02 – dx 12 + dx 22 + dx 32

 

Каждую из них можно также «расслоить» по методу Дирака

, (15.16)

где

g_m^(a)g_h ^(b) = b_mh ^(ab),(15.17)

 

но в этом случае каждая b_mh^(ab) -матрица имеет соответствующую сигнатуру:

(15.18)

Знаки перед единицами в диагональных b_mh^(ab) -матрицах соответствуют наборам знаков в компонентах матрицы сигнатур (11.5).

В этом пункте для краткости верхние индексы будем временно опускать, и вместо «b_mh^{(ab )}-матрица» будем писать «b_mh- матрица».

Вернемся к дираковскому «расслоению» квадратичной формы (15.10)

(15.19)

где

(15.20)

и рассмотрим всевозможные варианты ее раскрытия.

Каждой из шестнадцати γ_mρ -матриц (15.15) можно подобрать вторую γ_ct -матрицу из этого же набора, такую, что их произведение равно b_mh -матрице (15.20). Например:

 

(15.21)

 

Каждая γ_mρ -матрица (15.15) может иметь одну из 16-ти возможных стигнатур. Например:

 

(15.22)

Для каждой из этих γ_mρ^ij -матриц также можно подобрать вторую γ_ct^nj -матрицу, произведение с которой приводит к b_mh -матрице (15.20). Таким образом, с учетом 16-и стигнатур из 16-и γ_mρ -матриц (15.15) получается 16 ´16 = 256 γ_mρ^ij -матриц.

Каждую γ_mρ^ij -матрицу (15.22) можно превратить в одну их 16-и смешанных матриц. Поясним данное утверждение на примере γ ₁₁¹³-матрицы:

(15.23)

При подобном размешивании всех двухсот пятидесяти шести γ_mρ^ij -матриц (15.23) получается базис из 16³ = 256 ´ 16 = 4096 _nkγ_mρ^ij -матриц. Следовательно, в этом случае b_mh -матрица (15.20) может быть задана одой из 4096 произведений пар _nkγ_mρ^ij -матриц.

В свою очередь, все шестнадцать b_mh -матриц (15.18) могут быть заданы 16⁴ = 65536 различными вариантами парных произведений ^vc_nk γ _lm^ij -матриц.

Подобным образом можно продолжать наращивание базиса обобщенных γ -матриц Дирака практически до бесконечности.

Будем называть всю совокупность ^vc_nk γ _lm^ij -матриц обобщенными матрицами Дирака, а l_{m ¸ n}- вакуум, препарированный посредством этих матриц, будем называть дираковским l_{m ¸ n}- вакуумом.

Напомним, что если, например, метрика равна нулю

i I H V H¢

,

то она описывает распространение одного из «цветных» лучей света. Внутренние и внешние аспекты Глубинной Философии данной математики сводятся воедино: «Пустота» на которой Наречены свойства Непроизносимого Имени ТВОРЦА ה-ו-ה - י (H¢VHI) – это Бесконечная Потенция Возможного и Неисчерпаемый Источник Внутреннего Сияния.

Выше было рассмотрено дираковское «расслоение» только одной квадратичной формы (15.1). Точно так же «расслаиваются» все остальные метрики (15.16), создавая невообразимо гармоничное, «цветное» сияние.

Будем называть всю совокупность ^vc_nk γ _lm^ij -матриц обобщенными матрицами Дирака, а l_{m ¸ n}- вакуум, препарированный посредством этих матриц, будем называть дираковским l_{m ¸ n}- вакуумом.

Итак, при детальном рассмотрении выясняется, что мир поворотов и вращений каждого поперечного слоя локального участка l_{m ¸ n}- вакуума столь же разнообразен, гармоничен и бесконечен, как и бесконечно разнообразие продольных и поперечных 4-пространств, на которые «расслаивается» исследуемый участок «вакуума».

Это как пока был Храм в Иерусалиме, четыре смены коэнов и левитов непрестанно возносили Хвалу Г-СПОДУ все 24 часа суток. Богослужение в Иерусалимском Храме не прекращалась ни на секунду. Так и ныне, когда нет Иерусалимского Храма, не утихает глас восхваления и обращения к Г-СПОДУ круглые сутки.

По мере захода и восхода солнца к Храмовым Службам (шахарису, минхе и мариву) присоединяются все новые и новые синагоги, церкви и мечети в разных городах мира. Откуда видим, что Храмовая Служба есть мировой инвариант, независящий от времени, места и обстоятельств. Форма меняется, но Содержание остается прежним.