Вычисление теоретических частот для различных видов распределений.

Как найти теоретические частоты, если предполагается, что генеральная совокупность распределена нормально? Ниже приведен один из способов решения этой задачи.

1. Весь интервал наблюдаемых значений X (выборки объема n) делят на s частичных интервалов (x_i, x_i+1) одинаковой длины. Находят середины частичных интервалов х_i = (x_i+x_i+1)/2; в качестве частоты n_i варианты x_i принимают число вариант, которые попали в i-й интервал. В итоге получают последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

При этом ∑n_i = n.

2. Вычисляют, например методом произведений, выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение .

3. Нормируют случайную величину X, т. е. переходят к величине Z = (X — )/ и вычисляют концы интервалов (z_i ,z_i+l): причем наименьшее значение Z, т. е. z₁ полагают равным — ∞, а наибольшее, т. е. z_s, полагают равным ∞.

4. Вычисляют теоретические вероятности р_i - попадания X в интервалы (x_i, x_i+1) по равенству (Ф(z)—функция Лапласа)

и, наконец, находят искомые теоретические частоты n_i = nр_i.

32.

Элементы теории корреляции.

В математическом анализе мы имеем дело с функциональной зависимостью между двумя переменными величинами, при которой каждому значени. одной их них соответствует единственное значение другой.
Однако часто приходится иметь дело с более сложной зависимостью, чем функциональная. Такая зависимость возникает тогда, когда одна из величин зависит не только от другой, но и от ряда прочих меняющихся факторов, среди которых могут быть и общие для обеих величин.
Так, например, с увеличением высоты сосны увеличивается диаметр ее ствола. Однако если исследовать эту зависимость по опытным данным, то может оказаться что для отдельных сосен с большей высотой диаметр ствола окажется меньше, чем для сосен с меньшей высотой. Это объясняется тем, что диаметр ствола сосны зависит не только от ее высоты, но и от других факторов (например, от свойств почвы, количества влаги и т.д.).
Это обстоятельство наглядно видно из таблицы, в которой приведены значения диаметров ствола сосны в зависимости от ее высоты. В каждой клетке этой таблицы помещено число сосен, имеющих соответствующие диаметр ствола и высоту*. Так, например, количество сосен с высотой 24 м и с диаметром ствола 26 см равно двум.

	Высота (в м)
Диаметр (в cм)	22,5-23,5 23	23,5-24,5 24	24,5-25,5 25	25,5-26,5 26	26,5-27,5 27	27,5-28,5 28
20-24 22
24-28 26
28-32 30
32-36 34
36-40 38
40-44 42
44-48 46

Ниже приведены средние значения диаметра ствола сосны в зависимости от высоты.

Мы видим, что с увеличением высоты сосны в среднем растет диаметр ее ствола. Однако сосны заданной высоты имеют распределение диаметров с довольно большим рассеянием. Если в среднем, например, 26-метровые сосны толще, чем 25-метровые, то для отдельных сосен это соотношение нарушается.
В рассмотренном примере мы имеем две случайные величины: - высота сосны и - диаметр ее ствола. Каждому значению x величины соответствует множество значений , которые она может принимать с различными вероятностями. Говорят, что между и существует корреляционная зависимость.