Равномерное распределение, нормальное распределение, показательное распределение.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(X):

f(x) = F`(x).

Плотности распределения непрерывных случайных величин называют также законами распределений.

Равномерное распределение.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Описывается плотность равномерного распределения следующим образом:

f(x) =

Нормальное распределение.

Нормальным называют распределение непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

f(x) =.

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и σ. Достаточно, знать эти два параметра, что бы задать распределение. В данном случае a – математическое ожидание, а σ – среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Показательное распределение.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью

f(x) =

где λ – постоянная положительная величина.

Мы видим, что показательное распределение задается одним параметром λ. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т.д. Показательное распределение моделирует время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

11.

Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности

M(X) =.

Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, можно вычислить по формуле

M(X) =.

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(C) = C.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M(CX) =CM(X).

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X) * M(Y).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X + Y) = M(X) + M(Y).

12.

Дисперсия случайной величины и ее свойства.

На практике часто требуется выяснить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. M[X – M(X)], для любой случайной величины равно нулю.

Поэтому чаще всего идут по другому пути – используют для вычисления дисперсию.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]².

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

D(X) = M(X²) – [M(X)]².

Свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

D(C) = 0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно возводить за знак дисперсии возводя его в квадрат:

D(CX) = C²D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X – Y) = D(X) + D(Y).

13.