Дать определение базиса и ранга системы векторов. Доказать теорему о базисах. Сформулировать теорему о ранге системы векторов, к которой добавили вектор, являющийся ее линейной комбинацией.

 

Определение. Максимальная линейно независимая подсистема S’ системы векторов S называется базисом системы S.

Ранее было доказано, что всякая максимально линейно независимая подсистема n-мерного пространства состоит из n векторов. Отсюда можно сделать выводы:

1) базис любой системы векторов пространства R_n всегда содержит не более чем n векторов;

2) в любой системе векторов может содержаться несколько базисов, однако число векторов в каждом базисе одно и тоже;

3) любой базис пространства R_n содержит n векторов;

4) любая линейно независимая система из n векторов является базисом пространства R_n.

Из всех доказанных выше результатов можно сделать следующие выводы:

1) в n-мерном пространстве всякая линейно независимая система, состоящая из n векторов, будет максимальной;

2) любая максимальная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из n векторов;

3) всякая линейно независимая система n-мерных векторов содержится хотя бы в одной максимальной линейно независимой системе;

4) в n-мерном пространстве существует бесконечно много различных максимально линейно независимых систем векторов.

Определение. Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, называется рангом этой системы векторов.

Теорема. Система векторов является базисом линейного пространства тогда и только тогда, когда это максимальная линейно независимая система векторов.

Доказательство.

Пусть — базис . Тогда по определению — линейно независимая система векторов. Любой вектор представим в виде линейной комбинации , т.е. любая большая система векторов линейно зависима, т.е. для векторов

Значит, базис — максимальная линейно независимая система.

Пусть — максимальная линейно независимая система. Второе свойство базиса выполняется. Любая большая система векторов линейно зависима:

т.е. каждый вектор является линейной комбинацией векторов этой системы — выполнено первое свойство.

Теорема (о ранге системы векторов). Ранг системы векторов не изменится, если к ней добавить (или удалить) вектор, являющийся линейной комбинацией остальных.

 

 

Сформулировать и доказать критерий совместности системы линейных уравнений.

Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Теорема Кронекера-Капелли.

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство теоремы.

Необходимость. Система совместна. Докажем, что .

Система совместна — существуют такие числа ,что

т.е. вектор-столбец правой части линейно выражается через столбцы матрицы A. Это означает, что при добавлении столбца число линейно независимых столбцов не увеличивается, т.е. . Необходимость доказана.

Достаточность. . Докажем, что система совместна.

Пусть . Это означает, что среди столбцов обеих матриц есть r линейно независимых столбцов, а все остальные линейно выражаются через эти r столбцов. Не умаляя общности, положим, что линейно независимы первые r столбцов . Тогда столбцы — линейно зависимы и, следовательно, столбец линейно выражается через : .

Положим ,

тогда

т.е. вектор — решение системы ,

т.е. система совместна. Теорема доказана.