Союзы «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не» (словосочетание «неверно, что») называют логическими связками.

Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными или сложными. Предложения, которые не содержат логических связок, называют элементарными или простыми.

1. Отрицание – единственная операция, которая может применяться к одному высказыванию.

Отрицанием высказывания называется новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда само высказывание ложно и ложно, когда само высказывание истинно.

Отрицание обозначается , или b, читается: «не А» или «неверно, что А».

Для произвольного высказывания А определение удобно записывать с помощью так называемой таблицы истинности:

А

2.Конъюнкция (логическое умножение).

Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Конъюнкция обозначается или А&B; читается: «А и В».

Таблица истинности для конъюнкции выглядит следующим образом:

А	В

3. Дизъюнкция (логическое сложение).

Дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Дизъюнкция обозначается и читается «А или В».

Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом:

А	В

 

4. Импликация (логическое следствие).

Импликацией двух высказываний называется новое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе – ложно.

Импликация обозначается или , читается «Если А, то В» («Когда А, тогда В», «А, следовательно В»).

Таблица истинности импликации выглядит так:

А	В

Компоненты импликации имеют свои собственные «имена»: предложение А называется посылкой или антецедентом, предложение В – заключением или консеквентом.

Принятое определение импликации соответствует употреблению союза «если…, то…» не только в математике, но и в обыденной, повседневной речи. Так, например, обращение приятеля «Если будет хорошая погода, то я приду к тебе в гости» вы расцените как ложь в том и только в том случае, если погода будет хорошая, а приятель к вам в гости не придет.

5. Эквиваленция (логическая равносильность).

Эквиваленцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны либо ложны.

Эквиваленция обозначается или , читается «А тогда и только тогда, когда В».

Таблица истинности для эквиваленции выглядит так:

А	В

В форме эквиваленции, как правило, формулируются определения (например, определения логических операций).

 

3. Дать определения функции, композиции функций и указать их свойства.

Определение.

Пусть даны две переменные х и y с областями изменения Х и Y. Переменная y называется функцией от х, если по некоторому правилу или закону каждому значению ставится в соответствие одно определенное значение .

Для указания этого факта, что y есть функция от х, пишут: , , и т.п.

Можно также сказать, что функция f отображает множество Х на множество Y. Это обозначается так (рис.1.1).

Рис. 1.1

Переменная х называется независимой переменной или аргументом.

Переменная y называется зависимой переменной или функцией.

Относительно самих величин х и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Область определения и изменения функции

Определение.

Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция y определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

Определение.

Множество Х называется областью определения функции и обозначается .

Определение.

Множество значений Y называется областью изменения или областью значений функции, и обозначается .

Область изменения функции (множество ее значений) определяется законом соответствия.

Определение.

Функция называется числовой функцией, если ее область определения и множество значений содержатся в множестве действительных чисел R.

В дальнейшем будем изучать лишь числовые функции. Частное значение функции при записывается так: .

Характеризуют функцию по следующим свойствам:

1. четность или нечетность функции;
2. периодичность функции;
3. нули функции;
4. возрастание или убывание функции (монотонность функции);
5. ограниченность функции.

Рассмотрим эти характеристики.

Четные и нечетные функции

Определение.

Функция называется четной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, т.е. .

График четной функции расположен симметрично относительно оси .

Определение.

Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный, а числовое значение её сохраняется, т.е. .

График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Функция может быть ни четной ни нечетной, и в этом случае её называют функцией общего вида.

Графики таких функций не симметричны ни относительно оси , ни относительно начала координат.

Периодические функции

Определение.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число , что в области определения функции.

Наименьшее из положительных чисел Т, удовлетворяющих условию определения, называется периодом функции .

Нули функции

Определение.

Значение аргумента, при котором функция обращается в нуль, , называется нулем функции.

Монотонные функции

Определение.

Функция называется возрастающей (убывающей) в некоторой области изменения аргумента, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Определение.

Если функция в некоторой области изменения аргумента является только возрастающей или только убывающей, то функция называется монотонной.

Ограниченные функции

Определение.

Функция называется ограниченной на множестве Х, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Например, функции и – ограниченные функции, т.к. и для .

График ограниченной функции лежит между прямыми и .

Пусть даны числовые функции f(x) и g(x), такие, что E(f) ⊂ UD(g). Их композицией называется новая числовая функция F, заданная на D(f), которая каждому x ∈ D(f) ставит в соответствие число g[f(x)]. Функцию F обозначают также: g○ f:

(g ○ f) (x) = g(f(x))

Если функции f(x) и g(x) заданы своими выражениями, то для получения выражения композиции этих функций надо подставить в выражение функции g(x) вместо x выражение функции f(x).

Свойства композиции

Композиция ассоциативна:

.

Если — тождественное отображение на , то есть

,

то

.

Если — тождественное отображение на , то есть

,

то

.

Рассмотрим пространство всех биекций множества на себя и обозначим его . То есть если , то — биекция. Тогда композиция функций из является бинарной операцией, а — группой. является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу является — обратная функция.

Группа , вообще говоря, не коммутативна, то есть .