Дать определение квантификация многоместных высказывательных форм. Сформулировать правила построения отрицания предложений, содержащих кванторы.

 

Кванторы применяются для того, чтобы перейти от высказывательной формы к истинному высказыванию, эта операция называется квантификацией.

Квантификация - переход от высказывательной формы к истинному высказыванию.

Рассмотрим двуместную высказывательную форму и всевозможные варианты её квантификации:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(1) ≡ (2)

(3) ≡ (4)

Одноименные кванторы можно менять местами

(6) => (5)

(8) => (7)

Если высказывательная форма зависит от n переменных, то при квантификации высказывательной формы по x_i переменной, x_i переменная становится связанной (связана квантором), при этом все остальные называются свободными.

Чтобы перейти от высказывательной формы к истинному высказыванию нужно проквантифицировать её n раз по каждой переменной.

Отрицание предложений кванторами.

Рассмотрим такой пример: (отрицание предложения необходимо начинать со слов <неверно, что:>) - <неверно, что все ученики отличники>. Попытаемся перефразировать: <среди учеников есть хотя бы неотличник> или , т. е. ≡ . Ещё один пример: ≡ .

Правила построения отрицания предложения с кванторами:

- каждый квантор меняем на противоположный;

- отрицание переносим на высказывательную форму.

Пример: Предложение: <в каждой стране найдётся город, у всех жителей которого глаза одинакового цвета>.

Запись кванторами: (глаза одинакового цвета)

Отрицание кванторами: (неверно, что глаза одинакового цвета)

Отрицание предложение: <существует страна, в каждом городе которой найдётся житель с глазами разного цвета>.

 

Дать определение кванторов, свободных и связанных переменных.

Кванторы – логические символы или специальные обозначения для некоторых часто встречающихся выражений.

Например: 1) Квантор общности – – любой, каков бы ни был.

– для всех x истинно (или выполнимо) свойство p (x).

2) Квантор существования – – существует.

– найдутся (или существуют) x, обладающие свойством p (x).

Свободные и связанные переменные

Множество свободных переменных ^* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:

Определение 1 (Свободные переменные).

• Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы,
• свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы F,
• переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F  G),
• все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.

Определение 2 (Замкнутая формула). Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.

Определение 3 (Связаная переменная). Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K – квантор.