Формула Муавра, степень. Корни.

Если умножали бы в тригонометрической форме не два разных числа, а одно и то же число , то получилось бы:

, то есть .

Таким же образом можно умножить в третий раз и снова в аргументе прибавится , а модуль снова умножится на . Таким образом, по индукции доказывается, что

Эта формула называется формулой Муавра и позволяет не перемножать множество скобок, если требуется вычислить большую степень числа, а вычислить её по формуле.

И снова можно сказать, что ещё легче возводить в степень с помощью показательной формы числа:

Пример. Найти по формуле Муавра.

Вычислим модуль и аргумент.

.

Таким образом, соответствующая точка расположена в первой четверти на пересечении биссектрисы угла и единичной окружности.

По формуле Муавра, = = = 16.

В показательной форме: = = = 16.

Корень порядка n вычисляется по такой формуле:

Доказательство формулы корня порядка n.

Если возведём в степень n, получим

= .

Добавка после возведения в степень станет кратной , то есть точка, отстоящие на угол , просто опишет один лишний оборот вокруг начала координат, то есть в аргументу добавится 360 градусов, и придёт в ту же точку, что и без .

Пример. Найдите все значения корня .

Сначала представим комплексное число, которое находится под знаком корня, в тригонометрической форме.

Точка расположена на мнимой оси выше начала координат, поэтому аргумент , модуль .

Теперь находим все 3 корня.

при k = 0,1,2. , отсюда:

1) = =

2) = =

3) = =

Чертёж:

Если к исходному углу добавить 120 градусов, то для куба этого числа добавится 360 градусов, и результат будет точно такой же. С этим фактом как раз и связано наличие лишнего слагаемого в формуле.

 

Квадратных корней два, а именно . Это происходит по той же причине: если число было положительным, то его аргумент был 0, и тогда по формуле то есть

= = , что и соответствует при и . К аргументу прибавляется по 360 / 2 = 180 градусов.

Корни квадратные из отрицательного числа имеют вид .Там аргумент корня имеет вид , то есть 90 и 270 градусов соответственно.

 

Обобщённые синус и косинус комплексного числа.

и .

Рассмотрим при действительном значении , и докажем, что это на самом деле обобщения тех тригонометрических функций.

= по свойствам чётности и нечётности, получается

= = .

Для синуса, аналогично было бы

= = .

При отступлении в сторону от действительной прямой, значения косинуса и синуса могут быть и больше 1 по модулю, т.е. область значений вовсе не отрезок , например .

= > > 1.

Эти функции в комплексной плоскости являются неограниченными.

 

Связь с линейными однородными дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим функцию если комплексное число.

= = .

то есть здесь действительная и мнимая часть - как раз те самые функции, которые входят в ФСР при наличии комплексных корней.