Комплексные числа, их связь с дифф.уравнениями.

При изучении числовых систем в школе становится привычным понятие «действительная ось», «действительные» («вещественные») числа. Но эта система чисел является неполной, так как не содержит корни некоторых, казалось бы, простых уравнений, например . Если у квадратичного уравнения отрицательный дискриминант, то есть , то на действительной оси нет ни одного корня уравнения. Однако существует система условных, обобщённых чисел, где и такие уравнения тоже имеют решения. Они называются комплексными числами и геометрически соответствуют точкам на плоскости, а известная ранее действительная ось - это горизонтальная ось Ох в данной плоскости. Введено абстрактное понятие «мнимая единица» обозначающая «квадратный корень из минус 1». При этом получается .

Геометрическая интерпретация. На плоскости, горизонтальная ось отождествляется со множеством действительных чисел, а мнимая ось, содержащая , перпендикулярна оси действительных чисел.

Но ведь и множество отрицательных чисел тоже когда-то в прошлом считали абстракцией, потому что они не отражают никакое реальное количество объектов.

.

Комплексные числа - ещё более абстрактное обобщение. Оно полезно при решении различных физических задач. Плоскость комплексных чисел есть расширение множества действительных чисел. Каждой точке на плоскости с координатами можно поставить в соответствие комплексное число, состоящее из действительной и мнимой части: . Проекция на действительную и мнимую ось называются действительной частью и мнимой частью комплексного числа. , .

Если , то число это обычное действительное число.

Сложение и вычитание комплексных чисел определяется покоординатно, как для обычных векторов в плоскости.

= .

Для вычитания аналогично: = .

Умножение.

= , учитывая тот факт, что ,

получаем = .

Таким образом, после раскрытия скобок, надо просто учесть и привести подобные.

Пример. = = .

Определение. число называется сопряжённым к .

Умножим два взаимно сопряжённых комплексных числа:

= = , получилось действительное число. Мы заметили, что при умножении на сопряжённое мнимая часть станет 0, и получается действительное число. Этот факт можно использовать для процедуры деления. Если домножить на сопряжённое в знаменателе, то там получится действительное число, и это даст возможность разбить на сумму двух дробей. При этом, конечно, в числителе тоже домножаем на сопряжённое к знаменателю, чтобы дробь не изменилась.

= = =

Пример. Вычислить .

= = = = =

Поиск корней многочлена 2 степени при D < 0.

Пример. Решить уравнение . = .

Теперь можно вычислить 2 корня, правда, они не на действительной прямой:

= = = .

Как видим, 2 корня получились взаимно сопряжённые, то есть вида , так как в выражении было , где D отрицательно. Для многочлена с отрицательным дискриминантом всегда получаются 2 взаимно сопряжённых корня.