Тригонометрическая форма комплексного числа.

Введём величину тогда можно представить в таком виде: , для некоторого , ведь геометрически в этом случае - катеты прямоугольного треугольника, - его гипотенуза.

Абсцисса и ордината точки на плоскости это проекции на оси, они равны и соответственно. Кстати, эти величины и называются полярными координатами точки на плоскости.

Если записать комплексное число с помощью введённых выше величин и , получим:

= = .

Выражение называется тригонометрической формой комплексного числа, - его аргументом, - модулем.

.

Понятие модуля не противоречит известному понятию, применявшемуся раньше для отрицательных чисел: и там, и здесь модуль - есть расстояние по кратчайшей линии до начала координат.

Для любой точки модуль вычисляется как . Для вычисления аргумента верна формула если точка в 4-й и 1-й четверти, либо , если во 2-й и 3-й четверти. Это связано с тем, что период тангенса равен , график этой функции непрерывен на интервале от до .

Так, число запишется в виде .

Число соответствует .

Если вычислить синус и косинус, то снова перейдём к обычной, «алгебраической» форме числа:

= = .

Действительное число имеет аргумент 0 (если оно положительно) или (если оно отрицательно).

 

Угол может определяться разными способами, так, например, вместо угла во всех вычислениях для комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать , и это не будет ошибкой, так как тригонометрические функции повторяются через промежуток .

 

Показательная форма комплексного числа.

Известна формула Эйлера , таким образом, выражение может быть записано в виде .

Так, например, мнимой единице соответствует аргумент и модуль 1, поэтому запись в тригонометрической и показательной формах такова:

.

=

Умножение и деление в тригонометрической и показательной форме.

Умножение, и особенно деление комплексных чисел чаще всего бывает легче выполнять в тригонометрической форме, чем в алгебраической, так как для деления не нужно домножать на сопряжённое в знаменателе.

В показательной форме.

В тригонометрической форме:

Доказательство формулы:

= =

=

Здесь были использованы известные тригонометрические формулы косинуса суммы и синуса суммы.

Таким образом, для умножения двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, достаточно просто умножить их модули и сложить аргументы.

Формула деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме:

= .

Для деления двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, нужно поделить их модули и вычесть аргументы.

 

Заметим, что при умножении на мнимую единицу , а именно при действии , фактически вектор на плоскости переходит в , то есть как раз и прибавляется аргумент числа , то есть 90 ⁰.

 

Пример. Поделить .

= = = =

= .

Можно выполнить это деление и с помощью умножения на сопряжённое, чтобы повторить ранее изученный алгоритм:

= = = = .