Расчет качественных показателей оптимальной системы простого различения двух сигналов

Качество систем различения сигналов мы условились характеризовать средней вероятностью ошибочных решений Р _ош.ср. В настоящем параграфе приведем расчет этой вероятности для случая различения полностью известных сигналов (называемого простым различением) в предположении, что схема обработки наблюдений выбрана оптимальной. Мы проиллюстрируем метод расчета, установим ряд закономерностей и сделаем практические выводы.

4.5.1. Различение нулевого и ненулевого сигналов. В этом случае в принимаемое колебание удобно ввести двоичное число a Î(0,1)

. (4.5.1)

Оптимальная обработка (4.3.11) сводится к формированию корреляционного интеграла и к сравнению его с порогом Э / 2

Обозначим

. (4.5.6)

Случайная величина q является гауссовской, так как представляет собой линейный функционал гауссовского СП n (t). Ее ПВ определяется математическим ожиданием и дисперсией . Находим эти характеристики , а

. (4.5.7)

В соответствии с пояснениями, приведенными при расчете (4.4.17), модель помехи выбирается в виде белого шума: n (t ₁) n (t ₂) =0,5 N ₀ d (t ₁- t ₂). Тогда, используя в (7) фильтрующее свойство -функции, получаем

. (4.5.8)

Следовательно, q является нормальной случайной величиной с характеристиками m _q =0 и (8), что кратко будет записываться так: .

В качестве упражнения предлагаем самостоятельно рассчитать дисперсию величины (6) (пользуясь разложением n (t) в ряд Котельникова) в случае, когда помеха n (t) имеет равномерный ограниченный спектр мощности с верхней частотой F ³ F ₀ + F _c , F < ¥, и убедиться, что при этом получится тот же результат (8).

Общая закономерность, которой мы будем пользоваться в дальнейшем, состоит в следующем. Интеграл произведения гауссовской центрированной помехи n (t) с равномерным спектром и произвольной функции ℓ (t), но такой, что ее спектр не имеет частотных составляющих вне полосы частот | f | £ F, занятой помехой, представляет собой нормальную случайную величину с m =0 и s ²=0,5 N ₀ Э _ℓ, где Э _ℓ< ¥ - энергия функции ℓ (t).

Плотность вероятности величины q равна

. (4.5.9)

Вероятность ошибки (5) соответственно выражается формулой

,

которая после подстановки

при , (4.5.10)

принимает вид

. (4.5.11)

Интеграл ПВ P (x) гауссовской центрированной и нормированной () случайной величины представляет собой табулированную функцию, называемую интегралом вероятности и обозначаемую далее символом Ф

. (4.5.12)

Функция Ф (Z) является монотонно возрастающей функцией своего аргумента Z. На рис.4.11, дана геометрическая интерпретация функции Ф (Z) как площади под кривой ПВ P (x) нормальной нормированной случайной величины x ® N (0,1). Из рисунка ясно, что значения функции Ф (- Z) при отрицательном аргументе (заштрихованные площади) можно выразить через значения функции при положительном аргументе Ф (Z)