Зв'язок між напруженістю та потенціалом електростатичного поля

Електростатичне поле можна описати або за допомогою векторної величини – напруженості , або за допомогою скалярної величини – потенціалу  цього поля. Очевидно, що між цими характеристиками поля має бути певний зв'язок. Оскільки  пропорційна силі, що діє на заряд, а  - потенціальній енергії заряду, то варто очікувати, що зв'язок між  і  має бути аналогічним зв’язку між силою та потенціальною енергією.

Оскільки електростатичне поле є потенціальним, то отримане в механіці [4] співвідношення між силою та потенціальною енергією

                                                          (1.22)

є справедливим і в області електрики. Враховуючи співвідношення (1.12) та (1.19), отримаємо:

.

Незмінну тут величину  можна винести за знак градієнту, що дозволяє скоротити останнє рівняння на цю величину:

                                         (1.23)

Розкривши в (1.23) оператор Набла , отримаємо:

                                    (1.24)

Замінивши орти , , , рівняння (1.24) запишемо у вигляді:

                                   (1.25)

В проекціях на координатні осі рівняння (1.24) набирає вигляду:

, ,                                     (1.26)

Аналогічно проекція вектора  на довільний напрям  дорівнює взятій з протилежним знаком похідній від  по , тобто дорівнює швидкості зменшення потенціалу при переміщенні подовж напряму :

.                                                   (1.27)

Враховуючи, що , знаходимо, що потенціал поля змінюється найшвидше в напрямі силової лінії.

Впевнимось у справедливості співвідношення (1.24) на прикладі поля точкового заряду. Напруженість поля точкового заряду в певній точці визначається рівнянням (1.10).

Потенціал поля цього ж заряду в тій самій точці

Частинні похідні від цієї функції

,

, ,

Підставимо ці значення в рівняння (1.24):

,

що співпадає з (1.10).