Понятие о методе конечных элементов.

1⁰. Общее описание метода.

 

    1) Выполняется:

(1) ,  - гильбертово пространство с введенным в нем скалярным произведением.

Задача (1) формулируется в слабой (обобщенной) постановке.

(2) .

    2) Строится подпространство гильбертова пространства  и выбирается базис  в подпространстве. Базисные функции должны быть такими, что

(3)

Принципиальных препятствий нарушить условие (3) нет, однако в противном случае получаются системы линейных алгебраических уравнений с плотными матрицами, в противном случае матрицы разряженные, т.е. выполняется (3).

На самом деле рассматривается семейство подпространств  (последовательность  должна быть плотна в .

    3) Решение задачи (2) ищется приближенно в  в виде линейной комбинации базисных функций.

(4) .

    Для поиска коэффициентов линейного разложения  строится конечномерный аналог задачи (2).

(5) .

    4) Решение задачи (5) после вычисления скалярных произведений слева и справа сводится к решению СЛАУ вида .

    5) После нахождения  искомая функция  восстанавливается по формуле (4), например, кусрчно-линейное восполнения (4) и исследуется сходимость функции  к  при , т.е. .

2⁰. Пример построения и исследования конечно-элементой схемы.

 

I. Рассмотрим первую краевую задачу для ОДУ второго порядка.

(1) ,

(2) .

    Из курса дифференциальных уравнений известно понятие классического решения задачи (1), (2).

Нам понадобятся пространства , каждое из которых рассматривается как пополнение соответственно пространств , т.е.  или пространству  следует, что , т.е функции являются финитными.

,

.

Умножим обе части уравнения (1) на функцию  и проинтегрируем по переменной  на отрезке .

(3)

Применим формулу интегрирования по частям.

(4) .

Учитывая равенство (4) получаем из равенства (3) следующее равенство

,

(5) .

    Напомним определение обобщенного решения задачи (1), (2).

Опр.

Функция , такая, что для любой функции  выполняется равенство (5)называется обобщенным или слабым решением задачи (1), (2).

II. На отрезке  построим в общем случае равномерную сетку

Для  построим базис из кусочно-линейных функций, которые рассматривались ранее.

(6)

    Элементами пространства  являются все возможные линейные комбинации функций вида (6), т.е. кусочно-линеные функции, которые могут изменять свои наклоны в узлах сетки_ , и равны нулю на концах отрезка . Очевидно, квадраты базисных функций, а также квадраты их производных интегрируемы на отрезке , .

    Выберем функцию  и ее разложение по базису

(7) .

Также сформируем функцию , которую назовем далее приближенным значением задачи (5) и определенную следующим образом:

(8) , где .

Для удобства считаем, что .

    Числа , которые как мы увидим дальше при максимальном из шагов , будут стремиться к функции , т.е. .

Ориентируясь на представление (7), (8) сформулируем обобщенную постановку дискретной задачи в .

    Сформулируем понятие приближенного решения задачи (5).

Опр.

Функция  выполняется равенство

(9) .

Подставим (7) и (8) в (9), считая, что .

    Поскольку  - произвольные, тогда будут произвольными и . А значит последнее равенство выполняется, тогда и только тогда, когда

, -любое.

    Зафиксируем значение индекса .

Если , то мы получаем тривиальное равенство.

Рассмотрим случай, когда , получим:

(10) .

Разобьем отрезок  на два: и .

,

.

    Используем представления для интегралов  и  для преобразования (10). Введем следующие обозначения:

;     ;         ;                   .

    Итак, получаем СЛАУ:

___________________________________________________________________________________________________

‼  1) Доказать, что матрица СЛАУ не вырожденная,

    2) показать, что матрица СЛАУ является трех диагональной,

    3) показать, что для нее применим метод прогонки, т.е. есть строгое диагональное преобладание.

___________________________________________________________________________________________________

Если выполняются пункты 1)-3), то решение задачи (5) существует и единственно и может быть найдено вычислением по устойчивому методу прогонки.

    Коэффициенты  в явном виде вычислить не удается и на практике используются квадратурные формулы.

Реализация метода конечных элементов потребует применения некоторых теорем которые будут рассмотрены далее.

 

§3