Свойства операторов разностных производных первого порядка

 

    Рассмотрим разностную задачу, содержащую оператор левой разностной производной.

(1) ,

(2) .

Корректность задачи Коши для разностного уравнения I-го порядка.

Выразим из (1)

,

, следовательно,

.

Так как , то можно взять максимум от всех .

, получаем:

.

Таким образом, задача (1), (2) устойчива по начальным данным и правой части.

Свойства оператора левой разностной производной.

(1) ,

(2) .

I. Задачу (1), (2) можно переформулировать таким образом, что:

(3)

(4)

Задачу (3), (4) перепишем в виде:

;

;

.

    Для практических нужд полезно построить оператор сопряженный к .

Явное выражение этого оператора чрезвычайно важно.

 

Опр. 1

       Оператор : , называется сопряженным к оператору , если выполняется следующее условие

Для этого рассмотрим скалярное произведение вида:

.

Таким образом, пришли к следующему равенству:

(5) .

Заметим, что  - оператор правой разностной производной.

Введем оператор правой разностной производной:

(6)

Равенство (5) с учетом соотношения (6) означает, что для оператора левой разностной производной сопряженным является минус оператор правой разностной производной.

Итак,

(7) (8)

(9) .

    Известно, что любой линейный оператор  в гильбертовом пространстве сеточных функций можно представить в виде суммы его кососимметрической  и самосопряженной  частей, т.е. 

(10) ,              (11) .

__________________________________________________________

‼  Показать, что если (11), то .

__________________________________________________________

 

    Построим , привлекая в качестве оператора , оператор , задаваемый по формуле (7).

, следовательно,

(12)

.

    Таким образом, мы получили признак кососимметричности оператора:

.

Поэтому оператор, задаваемый равенством (12), является кососимметрическим. Это означает:

(13) , а следовательно,

(14) .

    Вернемся к соотношению (12). Из него следует, что оператор разностной производной второго порядка является кососимметрическим, если в граничных узлах он определен таким образом.

    Возможна и другая интерпретация соотношения (12). Оператор А можно считать определенным на расширенной сетке , для которой , .

II.     Покажем, что оператор  является положительно определенным, точнее положительным, т.е. .

Для этого для любой сеточной функции  необходимо доказать неравенство: .

Воспользуемся формулой (7).

 что и требовалось доказать.

    Кроме того, было получено соотношение:

(15) .

Каноническая форма двухслойных схем и

Ее применение к исследованию устойчивости

 

    Необходимость введения двухслойных схем вызвана дискретизацией и исследованием эволюционных задач, которые можно записать в виде:

(1) ;

(2) , где .

     - дифференциальный оператор.

(3) .

    Для дискретизации задачи (1), (2) неудобно использовать выражение вида (3), т.к. переменная  является выделенной в выражении (1), и аппроксимация будет, как минимум, двухточечного шаблона.

    Так мы приходим к понятию двухслойной разностной схемы.

 

Каноническая форма.

    Пусть Н конечномерное вещественное гильбертово пространство и .

Обозначим через  и  линейные операторы, переводящие .

Операторы  и , например, это операторы разностных производных по пространственным переменным. В общем случае они могут зависеть от .

Пусть  - векторный параметр, от которого зависят операторы  и . Считаем, что  фиксирован.

    Рассмотрим абстрактную задачу Коши операторно-разностного типа.

(4) ;

(5) .

    Можно считать, что задача (4), (5) будет дискретным аналогом задачи (1), (2), если выбрать операторы  и  подходящим образом: .

В уравнении (4) предполагается известными параметр , функция , заданными  и функция .

Считаем, что операторы  явно не зависят от . Также считаем, что оператор  обратим, т.е. существует . Условие  гарантирует обратимость оператора; , где  - гильбертово пространство сеточных функций.

    Рассмотрим теперь задачу (4), (5).

 

Опр. 1   Двухслойной схемы.

 

       Поставленная выше операторно-разностная задача Коши (4), (5) называется двухслойной схемой, записанной в канонической форме.

    Это семейство задач Коши зависящих от параметра .

Введем оператор перехода через все остальные функции, предполагая обратимость оператора В.

;

.

    При достаточно малых значениях параметра  можно определить оператор  называемый оператором перехода.

Введем также обозначения:

;    ; ;     

;  ; .

Тогда схему (4), (5) можно записать в виде:

(6) ;

(7) .