Свойства оператора симметричной разностной производной второго порядка в гильбертовом пространстве

 

    Рассмотрим случай сеточной функции, определенной на равномерной сетке

, .

Будем рассматривать финитные сеточные функции, если:

.

    Содержательно, факт финитности означает, что в случае граничных условий первого рода разностную задачу можно переформулировать таким образом, что граничные условия станут нулевыми.

(1) ;

(2) ;

Пусть

(3) .

Аналогично для

(4) .

Будем считать, что .

    Изменим постановку задачи (1), (2), скорректировав правую часть в зависимости от узла (в приграничных узлах), а также заменив правые условия на однородные.

(5) ;

(6) ;

(7)

    Задачи (1), (2) и (5), (6) эквивалентны за исключением двух точек: х=0, х=N-1, где значения сеточных функций были переопределены.

Введем на сетке  скалярное произведение: .

(8)

___________________________________________________________

‼    Проверить аксиомы скалярного произведения самостоятельно.

___________________________________________________________

 

На пространстве сеточных функций определенных на сетке  рассмотрим оператор симметричной разностной производной второго порядка .

.

Используя ранее введенные формулы Грина, установим некоторые свойства этого оператора.

Свойство 1.

Оператор  является положительным, т.е. ,  из пространства финитных функций из гильбертова пространства, т.е. .

Доказательство:

Используем первую формулу Грина, где ,

.

    В соответствии с полученными результатами задача (1), (2) сведенная к задаче (5), (6) имеет единственное решение. Это следует из того факта, что задача (5), (6) может быть записана в виде , где , следовательно, существует и ограничен оператор , таким образом . Кроме того,  тогда и только тогда, когда .

___________________________________________________________

‼    Показать самостоятельно, что этот оператор линейный.

___________________________________________________________

 

Свойство 2.

Оператор  является самосопряженным, т.е. ,.

Доказательство:

Используем вторую разностную формулу Грина,

.

Следовательно, .

    Второе свойство в совокупности с первым позволяет ввести энергетическое пространство сеточных функций, которое представляет собой частный случай Гильбертова пространства сеточных функций с определенным специальным образом скалярным произведением и нормы, которая называется энергетической нормой.

    .

________________________________________________________________

‼    Доказать, что введенное таким образом скалярное произведение удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Показать самостоятельно, что этот оператор линейный. Проследить где используется самосопряженность оператора, а где его положительность.

________________________________________________________________

 

(9)  ;

(10) .

Получим нужные в дальнейшем оценки вида:

(11) .

Эти оценки, по возможности, должны быть не улучшаемыми, т.е.  должно быть наименьшим, а  - наибольшей константами.

Получим оценку (11) используя информацию о спектре оператора .

___________________________________________________________________________________________________________

‼    Доказать равенство самостоятельно.

________________________________________________________________

 

Ранее было получено, что спектральная задача:

;

имеет решение:

(12)  - собственные значения.

(13) ;

(14) ,  .

       Так как оператор  самосопряженный, то существует базис из собственных векторов этого оператора, который можно пронормировать. Элементы этого базиса заданы собственными функциями .

в силу ортогональности

.(15)

Оценим сверху и снизу полученную сумму.

.

Учитывая равенство (15) и последнее соотношение, получаем:

.

    В виде  можно взять . На самом деле, приведенное ранее значение  превышает , т.к. . Поэтому  должна быть заменена на .

    Используя (15), получим оценку сверху.

.

       Итак, получили оценку:

(16) .

Вспомним определение нормы оператора в линейном нормированном пространстве.

.

       Не трудно показать, что

(17) .

В этой оценке понимается минимальная из всех возможных норм оператора.

________________________________________________________________

‼    Показать самостоятельно, что  с точностью до величины О(1).

________________________________________________________________