Распространение звуковых волн в

Жидкости определяется балансом

Между ее сжимаемостью и инерцией.

 

Джеймс Лайтхилл

 

Нелинейные волны с дисперсией

 

 

Волновые движения являются типичными для самых разных сред. В газах – это звуковые волны, ударные волны, в жидкос-
тях – волновые движения в реках, морях и океанах, в каналах и трубопроводах. Волновые движения в плазме, электромагнитные волны, альвеновские и магнитозвуковые волны. А если вспомнить, что волновые свойства демонстрируют электрон и другие элементарные частицы, то становится ясно, что волновые движения – одни из самых типичных в природе. В этом разделе мы рассмотрим некоторые характерные модели волновых движений в сплошной среде, обращая основное внимание на нелинейные и дисперсионные эффекты. Дисперсионными называются волновые процессы, в которых скорость волны изменяется в зависимости от ее длины.

 

 

Гравитационные волны на поверхности жидкости

 

Гравитационные волны, возникающие под действием силы тяжести на поверхности воды, являются типичным примером волновых движений, возникающих в сплошной среде. Будем считать жидкость идеальной и несжимаемой. Последнее означает, что плотность жидкости не меняется под влиянием изменения давления и уравнение неразрывности сводится к такому:

 

.                                      (14.1)

Пусть далее движение жидкости потенциальное

.                                  (14.2)

Выберем систему координат так, чтобы ось  была направлена вертикально вверх, а плоскость  совпадала с поверхностью невозмущенной жидкости. Движение среды описывается уравнением Эйлера

.

Здесь учтено, что сила тяжести также потенциальна. Подставляя в последнее уравнение выражение (14.2), интегрируя его и учитывая, что внешнее давление на свободную поверхность жидкости постоянно и равно  (атмосферное давление), получим

.                     (14.3)

С другой стороны, уравнение неразрывности (14.1) с услови-ем (14.2) дает

.                                     (14.4)

Таким образом, задача сводится к решению системы уравнений (14.3), (14.4) с соответствующими граничными условиями на свободной поверхности и на дне. Первое условие называется кинематическим и следует из простого факта: производные по времени от координат точек поверхности жидкости должны равняться скоростям этих точек. Представляя уравнение поверхности в виде

                              (14.5)

и дифференцируя его, находим

.              (14.6)

Необходимо, однако, еще одно условие. Оно называется динамическим, поскольку следует непосредственно из уравнения (14.3)

.                        (14.7)

Последнее условие – это условие непротекания

.                            (14.8)

Здесь  – глубина жидкости.

В линейном приближении, т. е. для волн малой амплитуды, когда , где  – амплитуда волны, а  – ее длина, эти соотношения существенно упрощаются и задача сводится к системе уравнений

,                        (14.9)

С граничными условиями

,                        (14.10)

или

 при .                      (14.10а)

Решениями уравнений (14.9) в области , удовлетворяющими граничному условию (14.10а), будут поверхностные гравитационные волны. Естественно, должно удовлетворяться и условие непротекания (14.8). Если глубина водоема много больше длины волны, то это условие выполняется автоматически, возмущение не проникает на глубину, существенно большую . Возникающие при этом волны называются волнами на глубокой воде. Потенциал скорости, описывающий распространение синусоидальной волны в положительном направлении оси  со скоростью  имеет вид

       (14.11)

Здесь волновое число так связано с длиной волны: . Далее можно показать, что амплитуда волны определяется выражением

                              (14.12)

 – значение при . Из граничного условия (14.10а) тогда получаем следующее дисперсионное соотношение (т. е. соотношение между частотой и длиной волны или волновым вектором) для волн на глубокой воде:

 или .           (14.13)

Таким образом, для рассматриваемых волн скорость волны пропорциональна корню квадратному из длины волны.

Для синусоидальных волн на воде произвольной, но постоянной глубины дисперсионное соотношение становится существенно более сложным

.                             (14.14)

При  отсюда получается дисперсионное соотноше-
ние (14.13).