Интегрируемые и неинтегрируемые системы

 

Долгое время, почти весь XIX век, классическая динамика изучала так называемые интегрируемые гамильтоновы системы. Прежде чем дать определение интегрируемых систем, рассмотрим простой пример гармонического осциллятора. Его гамильтониан имеет вид

.                             (8.5)

 

Здесь первый член соответствует кинетической энергии, а вто-рой – потенциальной,  – коэффициент жесткости пружины, определяющий собственную частоту осциллятора . Перейдем теперь вместо переменных  и  к переменным угол–действие  и , определяемым соотношениями

, .               (8.6)

 

Это эквивалентно переходу от декартовой системы координат фазового пространства системы к полярной – . В переменных угол–действие гамильтониан (8.5) принимает очень простой вид

.                                   (8.7)

 

Особенность нового гамильтониана состоит в том, что он содержит только одну динамическую переменную – действие. Кроме того, теперь он не делится на кинетическую и потенциальную части, а описывает полную энергию системы. Потенциальная энергия при этом исключается из гамильтониана. Существенно упрощаются в переменных угол–действие и уравнения движения

 

, .                              (8.8)

 

Уравнения Гамильтона (8.8) теперь легко интегрируются. В результате видно, что действие сохраняется, а второе уравнение легко интегрируется

 

,                               (8.9)

 

и угол оказывается линейной функцией времени. Здесь  – начальная фаза. Следовательно, исходная проблема определения закона движения сводится к алгебраической задаче обращения преобразования, т. е. к переходу к первоначальным координатам и импульсам.

Данным каноническим преобразованием[24] исходных переменных к переменным действие–угол из рассмотрения удалось исключить потенциальную энергию. Именно это позволило нам легко проинтегрировать уравнения движения данной системы. Системы, для которых некоторой заменой переменных удается представить гамильтониан лишь как функцию действия

 

,                              (8.10)

 

и называются интегрируемыми. Таким образом, решение рассматриваемой динамической задачи заключается в нахождении такого канонического преобразования, чтобы новые импульсы были константами движения. Если такие переменные удается найти, задача интегрирования уравнений движения становится тривиальной.

Долгое время считалось, что большинство интересных с физической точки зрения систем являются интегрируемыми, стоит только хорошо поискать соответствующую замену переменных[25]. Тем сильнее было разочарование, когда Г. Брункс, а затем А. Пуанкаре показали, что большинство классических проблем динамики, в частности небесной механики, включая проблему трех тел, оказываются неинтегрируемыми. Для таких систем нельзя найти каноническое преобразование, приводящее исходный гамильтониан к виду (8.10).

Дадим теперь строгое определение интегрируемых систем. Рассмотрим гамильтонову систему с  степенями свободы. Для таких систем доказана теорема Лиувилля–Арнольда[26].

Теорема. Если в гамильтоновой системе с  степенями свободы (т. е. в системе с -мерным фазовым пространством)

, ,

известны  независимых первых интегралов в инволюции

 

,

то система интегрируема в квадратурах.

Две произвольные функции канонических переменных  и  находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю

.

 

Здесь мы использовали обозначение скобки Пуассона

 

.

 

Заметим, что в общем случае при интегрировании системы 2  дифференциальных уравнений нужно знать 2  первых интегралов. Для гамильтоновой же системы достаточно знать лишь  первых интегралов, каждый из них позволяет понизить порядок системы не на одну, а на две единицы.

Вычисление на ЭВМ позволяет определить

свойства системы и такие детальные харак-

теристики ее поведения, какие невозможно

получить ни из какого эксперимента.

 

Джоан Альдер