Методические указания к решению задачи № 7

 

1. Число степеней свободы системы с конечным числом сосредоточенных масс – это минимальное число независимых перемещений , определяющих положение системы масс в любой момент времени при колебаниях.

Для систем, показанных на рис.8, число степеней свободы равно 3. Компонуем из вектор .

2. Свободные колебания происходят под действием сил инерции. Запишем вектор как результат изгиба рамы от вектора сил инерции - , где - диагональная матрица масс, участвующих в движении

.

Элементы равны сумме масс, участвующих в движении применяя принцип независимости действия сил, и введя матрицу единичных перемещений

получим . (1)

Эта матричная запись системы трех дифференциальных уравнений свободных колебаний.

1. Матрицу определяем по формуле Мора [7]:

,

где - матрица влияния моментов.

Вектор - это вектор эпюры моментов в заданной раме от действия , приложенной по направлению .

4. Для составления нужно подготовить раму к расчету в матричной форме (см. п.1 методических указаний к задаче №3).

1. Решаем систему (1) в виде гармонических колебаний

, (2)

где - вектор амплитуд колебаний масс при частоте .

Дифференцируем (2) дважды по

,

подставляем в (1) и сокращаем на

. (3)

Переносим вправо (4)

Обозначим и .

Теперь вместо (4) будем иметь

. (5)

Это однородная система линейных уравнений для вектора . Она имеет нетривиальное (ненулевое) решение, если

. (6)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для определения параметра собственных частот . Иногда это уравнение называют вековым, так как оно впервые встретилось при определении периода движения планет.

Можно доказать, что для упругой системы, устойчивой в покое, все (в нашем случае 3) собственные значения действительны и положительны, а собственные векторы соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.

Другими словами, если , то скалярное произведение , иначе

.

6. Программа в файле СОБСТВЕК.xls для электронной таблицы EXCEL вычисляет три собственных числа и три собственных вектора по следующему алгоритму:

6.1. Находится наибольшее первое собственное значение методом итераций.

Принимаем начальный вектор в виде .

Проводим итерации .

При большом .

6.2. Остальные собственные числа находим методом исчерпывания.

Для аргумента проводим преобразование .

Для матрицы методом итерации (п.6.1) определяем и .

Для определения проводим преобразование .

Для матрицы методом итерации (п.6.1) определяем и .

1. Геометрические параметры поперечного сечения рамы взять из табл.10.

Таблица 10

Номер двутавра	Масса 1 п.м, кг	Размеры, мм	F, см2	J x, см4	W x, см3
h	b	s	t
				8,3		72,6
	66,5				14,2	84,7
	78,5				15,2
	92,6				16,5
					17,8

 

 

Задача № 8

 

РАСЧЕТ БАЛОЧНОГО РОСТВЕРКА

 

Для кинематически неопределимой перекрестной балочной системы (рис.9) требуется:

Рис. 9

 

1. Начертить схему перекрестной балочной системы в соответствии с шифром, расставив необходимое количество шарниров в систему, показанную на рис.9. При этом следует руководствоваться номерами узлов, показанных для половины системы на рис.12.

2. Разделить расчетную схему на участки (рис.11), отметив начало и конец каждого участка сечением с соответствующим номером (рис.12), установить правило знаков для ординат эпюры изгибающих моментов (рис.14).

3. Определить число неизвестных узловых перемещений и выбрать основную систему метода перемещений, используя в качестве элементов в неразрезные балки, работающие только на изгиб.

4. Построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных неизвестных и от заданных нагрузок , и записать их в виде матриц-столбцов, принимая в расчет половину системы с учетом симметрии.

1. Подготовить исходную информацию и записать ее на бланке.

6. Ввести исходную информацию в память ПК получить с помощью электронной таблицы EXCEL вектор неизвестных перемещений и ординаты эпюры изгибающих моментов в узловых сечениях балок .

7. С помощью обратной матрицы (матрица перемещений) построить поверхности влияния перемещений узлов .

1. Построить окончательную эпюру изгибающих моментов и поперечных сил .

9. Выполнить проверку равновесия балочной системы, используя уравнения равновесия статики: .

При выборе основной системы рекомендуется принимать неразрезные перекрестные балки с фиктивными вертикальными жесткими опорами в узлах пересечений. Таблицы единичных опорных моментов в неразрезных балках от осадки опор прилагаются. Крутильная жесткость стержней пренебрежимо мала по сравнению с жесткостью на изгиб.

Исходные данные взять из табл.11.

Таблица 11

Номер	Условия опирания балок	l, м	Р, кН	q, КН/м
строки	схемы
		Жесткое опирание				0,5
		Шарнир в узлах 1,4				0,8
		Шарнир в узлах 5,8				1,0
		Шарнир в узлах 9,12				1,2
		Шарнир в узле 18				1,4
		Шарнирное опирание				1,6
		Шарнир в узлах 1,4,9,12				1,0
		Шарнир в узлах 5,8,9,12				2,0
		Шарнир в узлах 1,4,5,8				1,0
		Шарнир в узлах 1,4,18				0,5
	е	е	а	б	в	г