Гармонический ток в пассивных элементах электрической цепи

1 Резистивное сопротивление

 

                                                 

                  

 начальная фаза напряжения на резистивном сопротивлении равна фазе тока.

                              

Гармонические напряжение и ток в резистивном сопротивлении совпадают по фазе.

 

2 Индуктивность.

           

U_mL= I_mωL – амплитуда напряжения на индуктивности (пропорциональна частоте)

ω L= x_L  - индуктивное сопротивление, φ _L = Ψ _UL -Ψ _i = π /2  - сдвиг фаз между индуктивным напряжением и током (индуктивное напряжение опережает ток на  четверть периода (90⁰⁾). 

 - комплексное сопротивление индуктивного элемента, при постоянном токе (ω =0) x_L(0)=0

 

Емкость

                                

 

 

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте

Емкостное напряжение отстает от тока по фазе на четверть периода (90⁰)

 

 

Анализ последовательной RLC -цепи при гармоническом воздействии

 

На основе второго закона Кирхгофа   u = u_R+ u_L+ u_C   или в комплексной

форме

U = U _R + U _L+ U _C С учетом                                                                                

 

 получим

 

где   - комплексное сопротивление RLC - цепи

 

Преобразовав, получаем, что ,

где - реактивное сопро­тивление, - полное сопротивление цепи, а  - угол сдвига фаз RLC цепи. 

 

Запишем закон Ома в комплексной форме с учетом фазовых соотношений:

. Здесь .

 

Треугольник сопротивлений  в RLC – цепи.

 

 - полное сопротивление RLC - цепи,

 угол сдвига фаз RLC - цепи.

       

 

 

Рассмотрим зависимости полного сопротивления Z и угла сдвига фаз φ в последовательной RLC -цепи от частоты.

0

                                                                                                                               

                                                                     ω₀ – резонансная частота RLC - цепи

                                                                        

                                                                     

0

                           ω₀

До ω₀ напряжение отстает от тока, после ω₀ напряжение опережает ток.

Рассмотрим зависимость тока и напряжения на резисторе от частоты

0   0

 

 

 

;

 

 

Варианты графиков U_L. U_C в RLC – цепи. Графики могут иметь максимумы.

 

                                                                                               

 

                                                

 

                                                 

                                                              

Векторные диаграммы последовательной RLC -цепи

 

Вид диаграмм зависит от выбранной частоты по отношению к резонансной.

1) ω<ω₀., U_L < U_C

        

 

2) ω=ω₀ → U_L= U_C

φ=0 3) ω>ω₀. U_L > U_C

 

Параллельные RLC - цепи

U = I · Z = I / Y Y – комплексная проводимость, B – реактивная Рассмотрим схему с параллельными RLC - элементами:

                              

                                                         

                                            Все ее элементы соединены параллельно и находятся под одним и тем же напряжением u(t)=U_msin(wt+ y_u). Необходимо определить ток в цепи i(t). На основании 1-го закона Кирхгофа в любой момент времени справедливо соотношение
                                 i (t)=i_R(t)+i_L(t)+i_C(t).
Отдельные составляющие токов определяются выражениями                                
Подставив вместо u(t) гармоническую функцию времени и проведя необходимые математические операции, получим

Будем определять искомый ток в виде i(t)= I_msin(w t+ [K1] y _i).
Перейдем к комплексным мгновенным значениям.

Сокращая на e^{j w t} и учтя, что , получим
                                
     или                
Выражение в скобках – комплексная проводимость цепи Y
                                  ,  – резистивная составляющая проводимости,
      – реактивная составляющая проводимости. и она может быть равна 0

на какой-то частоте ω₀, которую называют резонансной.

Закон Ома в комплексной форме для цепи записывается
                                                                                                       или
                                   

Отсюда следует, что при параллельном соединении ветвей цепи комплексная эквивалентная проводимость равна сумме комплексных проводимостей ветвей:

Проанализируем векторную диаграмму параллельной RLC - цепи

Напряжение взято как опорный вектор, ток в резисторе совпадает по фазе с напряжением, ток в индуктивности отстает на 90⁰, а ток емкостной опережает на 90⁰ и меньше. Общий ток равен сумме векторов всех токов и он отстает от напряжения по фазе.