Ние плотности теплового потока.

Цилиндрическая стенка. Очень часто теплоносители движутся по трубам и требуется рассчитать тепловой поток, передаваемый через цилиндрическую стенку трубы. Задача о распространении теплоты в цилиндрической стенке при известных и постоянных температурах на внутренней и наружной поверхностях, также одномерная, если ее рассматривать в цилиндрических координатах. Температура изменяется только вдоль радиуса (по координате r), а по длине трубы и по ее периметру остается неизменной. В этом случае и закон Фурье будет иметь вид

,

или для трубы длиной

.

Интегрировать удобно уравнение (8.15), так как тепловой поток не меняется по толщине стенки, a , поскольку площадь , через которую проходит тепловой поток, зависит от радиуса.

Разделим переменные:

Интеграл последнего уравнения

показывает, что распределение температуры по радиусу стенки подчиняется логарифмическому распределение температуры по радиусу стенки подчиняется логарифмическому закону (рис.9.3 ).

Рис. 9.3 Изменение температуры по толщине однослойной цилиндрической стенки

У внутренней поверхности, где кривизна стенки больше, температура меняется резче, чем у наружной.

Интегрирование в определенных пределах (по t от t_c1 до t_c2 и по r от r₁ до r₂) дает зависимость для расчета теплового потока через цилиндрическую стенку:

Для труб обычно измеряется и приводится в условиях задач диаметр, а не радиус, поэтому отношение радиусов заменено отношением диаметров .

Термическое сопротивление для цилиндрической стенки имеет вид

причем при расчет должен проводиться с высокой точностью, поскольку небольшая погрешность, допущенная при определении отношения , в этом случае дает значительную ошибку при вычислении логарифма. Например, если значение округлить до 1,1 (погрешность округления меньше 1 %), погрешность вычисления логарифма, а следовательно, и теплового потока будет больше 10%. С другой стороны, оказывается, что при отношении погрешность определения термического сопротивления цилиндрической стенки по формуле справедливой для плоской стенки [поверхность трубы считается по среднеарифметическому диаметру , дает ошибку меньше 1,5 %. Более высокая точность в практических расчетах требуется редко.

Для определения теплового потока через многослойную цилиндрическую стенку следует, как и для многослойной плоской стенки, просуммировать термические сопротивления отдельных слоев:

отличие предыдущей формулы от

заключается только в способе расчета термических сопротивлений отдельных слоев для плоской и цилиндрической стенок. Но и это различие существенно только при больших отношениях наружного и внутреннего диаметров каждого слоя .

При меньших отношениях термические сопротивления отдельных слоев, как уже было показано, целесообразнее считать по упрощенной формуле, справедливой для плоской стенки:

Расчет температур на границах слоев в данном случае осуществляется так же, как для многослойной плоской стенки:

.